Il teorema dei residui

In questa sezione verrà enunciato un importante strumento per il calcolo di integrali di funzioni olomorfe lungo cammini chiusi:il teorema dei residui. Prima di enunciare e dimostrare questo teorema è necessario definire cosa sia un residuo di una funzione e come esso può essere calcolato in alcuni casi particolari.

Definizione (residuo)

Si dice residuo di una funzione il coefficiente dello sviluppo in serie di Laurent nell'intorno di un punto . Ovvero, data:

si ha che ove è un qualsiasi cammino chiuso attorno a avente indice unitario.

 


Osservazione: La definizione appena data può essere giustificata dai seguenti passaggi:

si osserva che il primo dei due integrali presenti nel lato destro dell'equazione è nullo in virtù del teorema di Cauchy, essendo l'integrale di una funzione olomorfa lungo un cammino chiuso. Dunque:

Chiameremo i residui di una funzione .

Si danno ora metodi alternativi per il calcolo dei residui di una funzione in alcuni casi particolari:

  • La funzione ha in una singolarità di polo semplice. In tal caso ; da cui si ricava, passando al limite per , che:

  • La funzione ha in una singolarità di polo di ordine m-simo. In tal caso . Ancora, passando al limite per , si ha che:

Possiamo ora enunciare il seguente risultato, di fondamentale importanza nella teoria del calcolo integrale.

Teorema (teorema dei residui)

Sia analitica in una regione aperta ad esclusione, al più, di un numero finito di punti . Posto , sia un cammino chiuso in tale che Allora:

 


Situazione di applicabilità del teorema dei residui (\uline {teorema} \uline {35}).
Dimostrazione

Sia un generico punto di non olomorfia di in . È comunque possibile sviluppare in serie di Laurent in un intorno di questo punto, ovvero:

Definiamo È evidente che è analitica su tutto , inclusi i punti di dunque essa soddisfa le ipotesi del teorema di Cauchy (teorema 12). Dovrà essere che

Sfruttando questa informazione è possibile scrivere che , da cui segue che Tuttavia, per come sono definiti i si deve avere che:

 


Ci occupiamo ora di un'importante concetto, strettamente legato a quello sopra esposto: il residuo all'infinito. Sappiamo, infatti che alcune funzioni possono ammettere punti di singolarità all'infinito; dunque è necessario definire il concetto di residuo all'infinito per poter calcolare integrali di funzioni siffatte.

Innanzitutto inquadriamo il problema che ci poniamo di analizzare: sia una funzione analitica in una regione illimitata, tranne che, al più, in un numero finito di singolarità al finito e possibilmente in In particolare si richiede che pure la singolarità nel punto all'infinito sia isolata, ovvero che non sia un punto di accumulazione per le singolarità della

Esempio:La funzione non sarà parte della nostra trattazione, dato che essa presenta a un punto di accumulazione per le singolarità.

Sicuramente, nella situazione di cui sopra, sarà possibile determinare una curva chiusa tale che il suo esterno non contenga altre singolarità se non, al più (nel caso in cui essa lo sia), il punto Sia la porzione illimitata di che non contiene punti di singolarità al finito. Consideriamo un generico cammino chiuso che ruota in senso antiorario, come da convenzione, attorno ai punti di singolarità al finito della . Data la compattificazione sulla sfera di Riemann, , si ha che vista dal polo nord viene percorsa in verso orario. Ponendoci in questa condizione diamo la seguente definizione:

Definizione (residuo all'infinito)

Si definisce residuo all'infinito della funzione la quantità:

 


Ci si chiede ora se è possibile vedere come uno dei coefficienti dello sviluppo in serie di Laurent della funzione , così come per le singolarità al finito si aveva che . A questa domanda è possibile rispondere positivamente, e si avrà che:

Ove è il coefficiente nello sviluppo . Diamo una giustificazione di quanto detto. Studiamo la funzione in un intorno di sia esso . Per farlo effettuiamo la sostituzione , in tal caso si ha che:

ove si ha che , ove è un generico cammino chiuso nel piano delle t che circonda il punto Per si ha che , sostituendo nuovamente a si ottiene:
Sicchè

Sappiamo che funzioni regolari in un generico punto sono caratterizzate dal fatto di avere È necessario chiedersi se lo stesso è vero per il punto all'infinito e la risposta a tale domanda è negativa. Vale infatti la seguente osservazione:

Osservazione:Data una funzione a valori complessi , sia essa regolare (analitica) su tutto in generale si ha che:

Ad esempio la funzione è caratterizzata da

Essendo ora nota la definizione di residuo per il punto all'infinito e avendo chiarito cosa significa osservare la curva dal punto all'infinito (ovvero, polo nord della sfera) è possibile enunciare il seguente teorema, noto anche come
teorema dei residui esterni.

Teorema (teorema dei residui esterni)

Sia una funzione analitica su illimitata, tranne che, al più, in un numero finito di singolarità . Sia un cammino chiuso in che gira attorno ad alcuni dei punti di singolarità al finito. Allora si ha che:

Ove la prima sommatoria è estesa a tutti i punti di singolarità esterni alla curva

 


Spesso calcolare applicando la definizione può essere alquanto complicato, o addirittura impossibile; per farlo è opportuno sfruttare il seguente corollario:

Teorema (corollario)

Sia una funzione analitica su illimitata, tranne che, al più, in un numero finito di singolarità ed eventualmente il punto Allora si ha che:

 


Dimostrazione

Segue immediatamente come conseguenza del teorema dei residui e del teorema dei residui esterni. In particolare, dovendo valere contemporaneamente

si avrà che:

Da cui segue che

 


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