Continuità e derivabilità in campo complesso

Daremo ora la definizione di funzione continua e di funzione differenziabile in . Già in questa sezione sarà possibile notare che non è sufficiente estendere semplicemente quanto già noto per funzioni reali per caratterizzare completamente le funzioni complesse.

Definizione (continuità in un punto)

Siano e . Si dice che è continua nel punto se:

 


Ricordando che si ha che e dunque che , enunciamo e dimostriamo il seguente

Teorema (sulla continuità)

Siano Sia . Una funzione è continua nel punto se e solo se le funzioni definite come in (1.1) sono continue, nel senso della continuità di funzioni definite su dato nel corso di Analisi II, nel punto .

 


Dimostrazione

Siano continue nel punto . Si ha che:

Si è usata la definizione di e la disuguaglianza elementare:

In modo analogo si ottiene che:

Per ipotesi sono continue in , ovvero:

Dunque, dalle disuguaglianze ricavate si ottiene che, posto :

Viceversa sia continua in . Dalla definizione di continuità per funzioni complesse si ha che:

Notando che:

Dunque, dati e , si ha che:

Ovvero sono continue in

 


Passiamo ora alla definizione di funzioni derivabili in ; sarà evidente che, mentre la definizione di continuità è semplicemente un'estensione di quella già nota per funzioni in , il concetto di derivabilità è più profondo della banale estensione di un risultato già noto.

Definizione (derivabilità in un punto)

Siano e . Si dice che è derivabile nel punto se esiste ed è unico il seguente limite:

Il valore di tale limite sarà detto derivata della funzione nel punto .

 


Osservazione 1: Dire che il limite è unico equivale a dire che esso deve esistere e coincidere per ogni cammino seguito per arrivare in .

Forniremo ora delle condizioni necessarie per la derivabilità di una funzione a valori complessi. Sotto opportune ipotesi vedremo inoltre che queste condizioni possono diventare sufficienti.

Innanzi tutto osserviamo che, come già detto, il limite deve esistere per ogni cammino scelto per arrivare a ; preoccupiamoci di studiare due cammini semplici: quelli per cui si arriva a lungo assi paralleli a quelli di nel piano complesso:


  • Lungo l'asse parallelo a : Un generico appartenente a questo asse sarà della forma . Pertanto avremo che

Passando al limite per si ha che:

  • Per l'asse parallelo a : Un generico appartenente a questo asse sarà della forma . Pertanto, in modo del tutto analogo a quello appena visto, si avrà che:

Ricordiamo che se è derivabile in deve esistere unico il limite in . I due limiti appena trovati, se è derivabile in , devono dunque coincidere. Diamo la seguente

Definizione (condizioni di Cauchy-Riemann)

Le condizioni:

si definiscono condizioni di Cauchy-Riemann.

 


Per quanto detto sulla derivabilità della funzione in , queste condizioni sono necessarie alla derivabilità di una funzione in . Tuttavia non sono sufficienti: se la funzione è derivabile i due limiti calcolati avvicinandosi lungo l'asse reale e lungo l'asse immaginario devono coincidere poichè vale l'unicità del limite lungo ogni cammino, se la funzione non è derivabile i due limiti possono coincidere senza che necessariamente il limite sia unico per ogni cammino. Senza ulteriori ipotesi, sebbene una funzione verifichi le condizioni di Cauchy-Riemann, può esistere un cammino che neghi l'unicità del limite rendendo la funzione non derivabile.

Teorema

Siano e . Se è derivabile nel punto , allora essa soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann

 


Osservazione 2: Se sono soddisfatte le condizioni di Cauchy-Riemann allora si avrà che :

Dimostrazione

Nota che

Pertanto le condizioni di Cauchy-Riemann sono pure equivalenti a

Calcoliamo come derivata di una funzione composta, dato che possiamo scrivere:

sicchè otteniamo:

 


Notiamo che abbiamo tre condizioni necessarie, tra loro equivalenti, alla derivabilità di una funzione complessa in :

Definizione (funzione olomorfa)

Siano e . Se è derivabile nel punto , diremo che è olomorfa in . Se diremo che è olomorfa in se lo è in tutti i punti .

 


Come detto inizialmente, sotto opportune condizioni, è possibile che le condizioni necessarie alla derivabilità della siano pure sufficienti. Questa situazione è ben definita dal seguente

Teorema (condizioni necessarie e sufficienti per la derivabilità)

Siano e . Sia . Se esistono e sono continue le derivate parziali della in , allora le condizioni di Cauchy-Riemannsono condizioni necessarie e sufficienti alla derivabilità di in Equivalentemente possiamo dire che è olomorfa in se e solo se essa soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann

 


Non daremo una dimostrazione del teorema appena enunciato, tuttavia consideriamo i seguenti esempi:

  1. , ovvero la funzione complessa che .
    Si nota che . Non essendo rispettate le condizioni di Cauchy-Riemann concludiamo che non è olomorfa.
  2. . Usando le condizioni di Cauchy-Riemannsi ha che:

Notando che questo è vero concludiamo che è olomorfa.

  1. , . Innanzi tutto notiamo che , mentre Vogliamo applicare le condizioni di Cauchy-Riemannnelle quali, tra l'altro, ci aspettiamo di ottenere che .

Innanzi tutto notiamo che entrambe le derivate parziali, se valutate rispettivamente in si annullano.
Calcolando il limite del rapporto incrementale della lungo una qualsiasi retta passante per l'origine degli assi del piano si ottiene che:

Passando al limite per è evidente che esso dipende da ovvero dal cammino scelto per arrivare a .
Concludiamo dunque che non può esistere .

Osservazione 3: Questa importante osservazione ci permette di notare un parallelismo tra le soluzioni dell'equazione di Laplace e la classe delle funzioni olomorfe in .

Si consideri l'equazione di Laplace in coordinate cartesiane:

Consideriamo una generica funzione olomorfa su . Siano . Sono soddisfatte le (1.7), pertanto possiamo anche dire che vale:

Se è derivabile parzialmente al secondo ordine, possiamo derivare rispetto a la relazione appena ottenuta, concludendo che:

La classe delle funzioni olomorfe in coincide con la classe delle soluzioni dell'equazione di Laplace in due dimensioni.

Non andremo oltre nel definire la teoria delle funzioni derivabili in , dato che la possibilità di derivare oltre al secondo ordine (in particolare di derivare infinite volte una funzione) discenderà in maniera diretta dalla teoria di integrazione su .

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