Classificazione degli zeri e delle singolarità di funzioni a valori complessi

Ci si pone ora il problema di classificare gli zeri di una funzione complessa, in particolare si ha la seguente

Definizione (zero)

Sia , una funzione olomorfa in e sia , si dice che è uno zero di se

 


Dalla definizione appena data segue che, sviluppando in srie di potenze in la funzione  :

necessariamente si avrà che almeno

Diamo ora la seguente classificazione degli zeri di una funzione complessa:

  • Se e ha uno zero del primo ordine;
  • Se , ma ha uno zero di ordine

Notiamo anche che:

  • La definizione di zero del primo ordine implica che ;
  • La definizione di zero di ordine m-esimo implica che

La classificazione degli zeri di una funzione complessa non richiede ulteriore trattazione teorica, tuttavia si tenga presente che valgono i seguenti teoremi:

Teorema

Sia una funzione olomorfa, e non identicamente nulla, in . Allora gli zeri di sono necessariamente punti isolati. Ovvero .

 


Di fondamentale importanza è anche il

Teorema (teorema fondamentale dell'algebra)

Sia un polinomio a coefficienti complessi, allora esso ha uno zero in . Più precisamente, si avrà che se è un polinomio di grado in , allora esso ammette esattamente radici.

 


Passiamo ora alla classificazione delle singolarità di una funzione a valori complessi. Dapprima consideriamo il caso delle singolarità isolate, come da definizione:

Definizione (singolarità)

Sia . Si dice che ha in un punto di singolarità se essa non è olomorfa in quel punto. Inoltre si dirà che tale singolarità è isolata se la funzione è olomorfa in un intorno del punto , ma non lo è nel punto stesso. Ovvero se in cui è olomorfa.

 


Nel caso in cui presenti delle singolarità, come da definizione, sarà comunque possibile espanderla in serie di Laurent. Ovvero, si avrà che:

Diamo ora una classificazione dei possibili punti di singolarità isolata che una funzione può presentare:

  • Singolarità eliminabile: Si dice che ha in è un punto di singolarità eliminabile se olomorfa in tale che . Dunque è necessario che esista finito il limite . Inoltre se presenta un punto di singolarità eliminabile si avrà per i coefficienti della serie di Laurent associata ad che Ovvero è rappresentabile mediante la sola parte regolare dello sviluppo in serie di Laurent..
  • Polo: Si dice che ha in una singolarità di polo se nello sviluppo di Laurent si ha che . Ovvero se nello sviluppo in serie di Laurent di la parte singolare è data da una somma finita di termini. Una definizione equivalente di singolarità di polo sfrutta l'espressione analitica della funzione. Più precisamente, se ove sono olomorfe in e si dice che il punto è un polo per
    In particolare, si ha un polo di ordine se

  • Singolarità essenziale: Si dice che ha in una singolarità essenziale se essa non è né eliminabile né di polo. Ovvero se nello sviluppo in serie di Laurent per la si ha che per un'infinità di valori di Ovvero, occorre che :

Un importante teorema legato alle singolarità essenziali è il:

Teorema (teorema di Weierstrass)

Se è una funzione a valori complessi che presenta nel punto una singolarità essenziale, allora e un qualunque esiste sempre Ovvero . Equivalentemente si può dire che l'insieme è denso in

 


Esempio: Si consideri la funzione e si provi che è un punto di singolarità essenziale.

  1. Per dimostrare quanto richiesto è possibile utilizzare la definizione di singolarità essenziale, dato che lo sviluppo di Laurent, centrato in , di è noto:

È evidente che tale sviluppo presenta solo la parte singolare e si ha che Segue che è una singolarità essenziale.

  1. Calcolando il limite per si ha che:

Concludendo, grazie al teorema di Weierstrass, che è una singolarità essenziale.

Teorema

Se è olomorfa in una regione , ad eccezione di un punto ma è continua in , allora è olomorfa in tutto (compreso il punto ).

 


Dimostrazione

Si consideri lo sviluppo in serie di Laurent di in un intorno . Dunque si avrà che:

Calcolando i coefficienti lungo un cammino chiuso attorno a grazie alla definizione si avrà che:

Data l'invarianza dell'integrale sopra riportato, rispetto al rappresentate scelto per il cammino chiuso che si sta considerando, sia una circonferenza di centro e raggio

Considerando il modulo dei coefficienti si ha che:

Dovendo essere indipendente da ed essendo la funzione considerata continua per ipotesi è possibile valutare il limite di per ottenendo che . Il che porta a concludere che necessariamente si avrà

Dunque il punto è una singolarità eliminabile, pertanto è possibile ridefinire in modo tale che sia olomorfa su tutto

 


Osservazione: il teorema appena enunciato continua a valere anche per funzioni limitate, ma non necessariamente continue su , in un intorno del punto . Questo è sempice da giustificare, dato che ripercorrendo la dimostrazione si nota come si sia usato solamente il fatto che ammettesse massimo su nel caso di non continuità della funzione è sufficiente sostituire a tale quantità il

Dal teorema appena enunciato segue anche che se la funzione presenta in un polo di ordine , allora la funzione è olomorfa su tutto

La trattazione teorica appena effettuata, è bene ricordarlo, vale per singolarità al finito. Vogliamo ora occuparci di singolarità all'infinito, ma per farlo è necessario puntualizzare il concetto di punto all'infinito.

Definizione (punto all'infinito)

Definiamo punto all'infinito nel campo complesso compattificato il punto dato dalla proiezione stereografica del polo nord della sfera di Riemann sul piano complesso.

 


Per studiare le singolarità all'infinito sarà (quasi) sempre opportuno introdurre il seguente cambio di variabile:

In tal modo lo studio all'infinito, si riduce allo studio di una singolarità al finito (nel punto ) per la funzione .

Esempio Si studi il comportamento all'infinito della funzione Come da definizione effettuiamo il cambio di variabile e studiamo la funzione nel punto È semplice osservare che ammette in uno zero del secondo ordine, dunque concludiamo che la funzione ha, in uno zero di seconda specie.

Le classificazioni appena date permettono di enunciare nuovamente il teorema di Liouville, estendendolo al campo

Teorema (teorema di Liouville)

Sia una funzione olomorfa e limitata su tutto , allora essa è una funzione costante.

 


Dimostrazione

Consideriamo lo sviluppo in serie di TaylorSi noti che esso esiste perchè è olomorfa su Equivalentemente è possibile sviluppare in serie di Laurent: in tal caso rimarrà solamente la parte regolare dello sviluppo., con centro , della :

Posto si avrà che Per ipotesi di olomorfia su si ha che pure la funzione è regolare su tutto in particolare nel punto evidentemente ciò è possibile se e solo se ma . Ovvero la funzione di partenza deve, necessariamente, essere costante.

 


Abbiamo enunciato due teoremi legati a due particolari tipi di singolarità limitate (quella eliminabile e quella essenziale), per la singolarità di polo vale che:

Teorema

Una funzione nel piano complesso è razionale (i.e. polinomi a coefficienti complessi tali che ) se e solo se è analitica su tutto tranne che, al più, in un numero finito di poli.

 


La dimostrazione di questo teorema è lasciata per esercizio. Si noti che in realtà è sufficiente ragionare sulla definizione data per singolarità di polo e quali sono le condizioni necessarie affinchè una ammetta in un punto una tale singolarità.

Consideriamo ora i seguenti esempi di studi di singolarita (sia finite che ):

  1. Sia . Studiamo dapprima i punti critici della funzione nel finito: si avranno dei problemi laddove si annulla il denominatore della , ovvero dove . Dunque È semplice osservare che i punti sono poli del primo ordine per la
    Studiamo ora il punto all'infinito: mediante la sostituzione dovremo studiare il punto , concludendo che la è regolare nel punto
  2. Sia . Effettuando la sostituzione si ha che Ovvero la funzione può essere scritta mediante il suo sviluppo in serie, nel quale esistono e sono infiniti i in : ciò permette di concludere che la presenta in un punto di singolarità essenziale.
    Se si analizza il punto all'infinito mediante la sostituzione è semplice notare che a la ha un comportamento regolare.
  3. Sia . Riscriviamo la funzione come . Innanzi tutto notiamo che il punto sarà un polo; per capire di quale ordine è necessario studiare il e vedere quando questo è diverso da zero. Si nota che, posto e ricordando che :

Dunque il punto è una singolarità di polo del terzo ordine.
Occorre ora studiare i punti del tipo nei quali si annulla il denominatore della . Si calcoli, a tal proposito, il seguente limite:

Il che ci porta a concludere che nei punti la funzione presenta singolarità di polo semplice.

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