Serie numeriche

Abbiamo visto come le successioni siano funzioni che associano un reale ad un naturale, creando un insieme ordinato per indice di numeri reali. Per qualche motivo che potrebbe sfuggire a qualsiasi logica, si potrebbero anche sommare tutti gli elementi di una successione, ottenendo un nuovo oggetto matematico, le serie numeriche.

Definizione (Somme parziali)

Sia una successione di reali. Definisco somma parziale:

E, date le possibili somme parziali di una successione, definisco:

 


Definizione (Serie numerica)

Chiamo serie di :

 


In realtà, il concetto di somma di insiemi numerici non è solo uno dei tanti trucchetti matematici per complicare la teoria. In realtà, le serie numeriche risolvono un grandissimo numero di problemi, tra cui il famoso paradosso di Achille e la tartaruga: ciò che sviò Zenone verso l'errore fu proprio la mancanza, nella matematica e nella filosofia greca, del concetto di serie e di numeri infiniti; in Grecia, non aveva senso l'espressione "infiniti numeri", e tanto meno "somma di infiniti numeri", per cui Zenone concluse il suo paradosso ammettendo l'impossibilità di Achille di raggiungere la tartaruga, cosa che, come vedremo, è in realtà errata: grazie alla teoria delle successioni, Cauchy riuscì a dare al famoso problema una dimostrazione matematica del fatto che fosse risolvibile.

Definizione (Serie a termini positivi)

Sia una successione positiva, ovvero tale che ; avremo che la serie sarà a termini positivi, infatti:

Le serie a termini positivi possono solo convergere o divergere, quindi ammettono limite finito o infinito.

 


Teorema (Criterio di confronto per serie)

Siano due successioni numeriche positive, tali che definitivamente. Supponiamo che , allora:

 


L'importanza di questo teorema è fondamentale: avendo due successioni, di cui una si conosce la convergenza della serie, si possono confrontare per sapere la convergenza o divergenza dell'altra.

Dimostrazione

Osserviamo che è regolare, ovvero ammette limite. Studiamo i tre casi: diverge a , diverge a , converge ad un limite finito.

  1. Definitivamente, . Quindi, ricordando le ipotesi:

  1. Definitivamente, . Quindi:

  1. Definitivamente, . Quindi:

 


Concludiamo questo primo capitolo enunciando la serie geometrica, che può essere usata per confronto con altre serie.

Definizione (Serie geometrica)

 
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