Convergenza di serie

Parliamo adesso di convergenza di serie; rispetto alle successioni, spesso risulta più complicato studiare la convergenza di una serie. Per questo, esistono vari criteri di convergenza che elencheremo in questo capitolo; daremo inoltre la definizione di serie armonica e armonica generalizzata, convergenza assoluta e definiremo alcune funzioni reali di variabile reale come serie: per la dimostrazione rigorosa di queste, si consiglia di studiare il capitolo del calcolo differenziale relativo al polinomio di Taylor.

Iniziamo dimostrando la condizione necessaria di convergenza di serie; sia ben chiaro che l'implicazione è valida solo nel senso enunciato, quindi non è sempre vero il contrario.

Teorema (Condizione necessaria di convergenza di serie)

Se la serie di una successione converge, allora la successione è infinitesima:

 


Dimostrazione

Poiché :

 


Ora parliamo finalmente dei criteri di convergenza; in generale, il criterio di Cauchy è già di per sé sufficiente, ma, nel caso in cui risulti difficile applicarlo, si può ricorrere agli altri due.

Teorema (Confronto asintotico (Criterio di Cauchy))

Siano due successioni positive e supponiamo:

Supponiamo inoltre che , allora:

 


Dimostrazione

Sia , deduciamo che, definitivamente:

Siccome , allora . Ma:

 


Facciamo alcuni esempi di come utilizzare questo criterio.

Esempio

 


Dimostrazione

Come abbiamo dimostrazione nella sezione dedicata alle successioni; sia , analizziamo il seguente caso:
Possiamo quindi dire che
E poiché è una serie che converge, possiamo battezzarla con nome e cognome e, magia delle magie, la chiamo funzione esponenziale.

 


Ovviamente, è lecito non credere al fatto che quella serie sia esattamente uguale alla funzione esponenziale, ma con una calcolatrice alla mano potrete verificare che è così. Ovviamente c'è dietro tutta una teoria, chiamata approssimazione polinomiale, che verifica tutto ciò: per gli impazienti, nella sezione del calcolo differenziale troverete tutte le dimostrazioni necessarie a confermarlo.

Definizione

 


Definizione

 


Sorpresi? Potete dimostrare facilmente che le due serie qui sopra definite sono convergenti e verificare, sempre con la calcolatrice alla mano, che le definizioni sono valide.

Passiamo adesso ad altri due criteri di convergenza, utilizzabili qualora non è immediata l'applicazione del criterio di Cauchy. Però si consiglia vivamente di cercare di dimostrare la convergenza di serie proprio col confronto asintotico, prendendo come cavie la serie armonica o, adesso che l'abbiamo enunciata, la serie .

Teorema (Criterio della radice)

Sia una successione positiva. Supponiamo che:

 


Dimostrazione

Partiamo dal caso ; confrontiamo con la serie geometrica:

Preso , quindi:

Analizziamo ora il caso ; preso , come prima avremo che , quindi:

 


Teorema (Criterio del rapporto)

Sia una successione positiva, e supponiamo . Allora:

 


Dimostrazione

Partiamo dal caso ; preso , avremo che , quindi:

Per l'ultimo passaggio si ricorre, come nel criterio della radice, all'utilizzo della serie geometrica, che converge e quindi la conclusione.

Passiamo al caso ; come prima esisterà un tale che , quindi:

Nell'ultimo passaggio si è ricorso, come prima, alla serie geometrica.

 


Questi sono tutti gli strumenti per lo studio della convergenza di serie; adesso passiamo a parlare di serie armoniche, ovvero quelle serie che descrivono comportamenti tipici di sistemi oscillanti (esempio: onde armoniche).

Definizione (Serie armonica)

Chiameremo serie armonica:

(La serie armonica diverge)

 


È lasciata per esercizio la dimostrazione della divergenza della serie armonica (suggerimento: sfruttate le sottosuccessioni pari e dispari).

Definizione (Serie armonica generalizzata)

Sia :

 


Parliamo adesso di convergenza assoluta, che aiuterà spesso a determinare la convergenza o meno di serie numeriche.

Definizione (Convergenza assoluta)

Sia una successione di numeri reali. Diremo che converge assolutamente se:

 


Proposizione

Se converge assolutamente converge semplicemente.

 


Dimostrazione

Moralmente:

Poiché successione di reali, sappiamo che ; definiamo due termini che, suggeriamo, vanno definiti ogni volta che si studia la convergenza assoluta:
Abbiamo quindi che:
Quindi:
L'ultimo passaggio è vero perché, come sono definiti gli elementi , le due serie sono convergenti.

 
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