Teorema di esistenza dell'estremo superiore

Per costruire la teoria dei numeri reali, abbiamo posto due assiomi, il primo è il famoso assioma di Archimede, il secondo è l' assioma degli intervalli incapsulati. Da questi due assiomi si costruisce tutta la teoria dei reali e, in particolare, si può dimostrare l'esistenza dell'estremo superiore. Ci sono diverse teorie che, tuttavia, pongono l'esistenza dell'estremo superiore come assioma e dimostrano gli assiomi di Archimede e degli intervalli incapsulati come teoremi. Poiché abbiamo costruito la teoria come il primo caso, assiomatizzando Archimede e gli intervalli, manca da dimostrare l'esistenza dell'estremo superiore. Colmiamo questo buco dimostrandolo qui di seguito.

Teorema (Esistenza dell'estremo superiore)

Sia ; allora esiste l'estremo superiore:

 


Dimostrazione

Sia ; sia un maggiorante di . Osservo l'intervallo : esso contiene elementi nell'insieme ed altri fuori da esso. Trovo il punto medio dell'intervallo , ovvero . A questo punto ho due opportunità:

In entrambi casi, avrò che e è un maggiorante di . Itero il processo volte:
Quindi, in definitiva:
Dall'assioma degli intervalli incapsulati e dalla sua proprietà dimostrata nel capitolo precedente sappiamo che:
Inoltre:
Per definizione di , sappiamo che ; passando al limite:
Ma osservo che anche ; quindi, sia , definitivamente è valida:
Poiché tende a , ma anche maggiorante tende ad esso, concludo che:

 
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