L'insieme dei reali R

Il problema della diagonale[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo visto come, a partire dai numeri naturali, quelli che spontaneamente siamo portati a conoscere, si possano creare ulteriori insiemi numerici che ampliano gli elementi di e hanno operazioni con rispettive proprietà, come somma, prodotto e ordinamento. Tuttavia, l'insieme dei razionali non può rispondere a tutti i problemi geometrici esistenti. Partiamo da un esempio semplice quanto fondamentale.

Prendiamo un quadrato di lato ; vogliamo misurarne la diagonale, ma vogliamo che la misura della diagonali sia un razionale. Ebbene, faticheremo molto, ma non riusciremo a risolvere questo problema. Analizzando più a fondo, possiamo ricavare geometricamente che la misura della diagonale, , è tale che . Vediamo come fare.

Prendiamo il quadrato di lato unitario e calcoliamone l'area; sappiamo che essa è pari a:

Ora, analizziamo uno dei due triangoli rettangoli ottenuti tracciando la diagonale. Questi triangoli sono uguali tra loro, e la loro area è la metà del quadrato unitario, ovvero:
Possiamo ottenere la misura di quest'area moltiplicando tra loro i cateti, che sarebbero poi i lati del quadrato unitario, e dividere il prodotto per , ma non otterremo alcuna informazione. Se invece prendiamo come base l'ipotenusa, ovvero la diagonale del quadrato, e come altezza la metà dell'altra ipotenuse, possiamo calcolare l'area avendo come incognite la diagonale, ovvero:
Uguagliando le due aree calcolate in questi due modi:
Quindi la diagonale deve essere tale che . Ma noi vogliamo che questo valore sia un razionale; cerchiamo di dimostrarlo nella seguente proposizione.

Proposizione

Esiste un numero razionale il cui quadrato faccia due, ovvero:

 


Dimostrazione

Diciamo che , con . Supponiamo che e siano primi fra loro, ovvero sia già ridotto. Avremo che:

Quindi si ha che è un numero pari, per definizione di numero pari; poiché la radice di un numero pari è essa stessa un numero pari, possiamo quindi scrivere:
Poniamo i due quadrati uguali tra loro:
Quindi anche è un numero pari, da cui anche risulta essere pari.

Concludiamo che e sono due numeri pari; ma noi abbiamo supposto che essi fossero primi tra loro, quindi risulta impossibile questa dimostrazione.

 


La sintesi di tutto ciò è che non esiste alcun razionale in cui quadrato sia . Questo problema causò la crisi della scuola pitagorica (assieme al rapporto di una circonferenza con il suo diametro), ponendo fine a tutte le certezze matematiche della dottrina di Pitagora. Il problema che apre questo semplice problema geometrico è ben più grande di quanto gli stessi pitagorici immaginavo: una buona definizione dell'insieme dei reali la si ha solo in epoca moderna: il grande lavoro fatto da Cauchy nello sviluppo dell'analisi matematica ha portato alla definizione rigorosa dell'insieme solo verso la fine del secolo XIX.

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