Insiemi numerici N, Z, Q

La teoria dell'analisi reale parte da un concetto base della conoscenza umana: il numero. La capacità di enumerare degli oggetti, darvi una misura, è stata una delle prima necessità dell'umanità. In maniera naturale si è portati a definire un oggetto campione, ovvero l'unità, e usarlo per contare.

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L'insieme dei numeri naturali contiene i numeri interi positivi, ovvero possiamo descriverlo in forma esplicita attraverso l'elencazione dei suoi elementi:

L'insieme dei numeri naturali è il primo insieme numerico da cui partono tutte le teorie matematiche e la conoscenza umana stessa: il numero, o meglio, il concetto di numero, è strettamente legato al concetto di lettera. Perché un determinato numero si scriva in un determinato modo, però, non è una discussione da poter fare qui: entreremmo nella teoria della simbologia.

Una domanda da poterci porre è: perché le unità vanno da a e poi si ricomincia, seguendo lo stesso schema per decine, centinaia ecc..? La risposta non è proprio banale, anzi, si può addirittura affermare di non saperla con certezza. Può darsi che la causa sia legata al fatto che in totale siamo dotati di dita, quindi la base numerica più in uso comune sia proprio la base decimale. Ovviamente, ogni numero può essere scritto in qualsiasi base, ma non tratteremo in questa sede.

I numeri naturali vi sembrano semplici? Ebbene, sono più complicati di quanto sembrino. Ci sono molti teoremi e congetture aperte su questo insieme numerico, e nessuno di questi è banale, a riprova del fatto che , essendo il pilastro fondante la matematica, non è certo una favoletta per bambini. Diamo qualche esempio.

Teorema (di Euclide)

infiniti numeri primi.

 


Com'è noto, per numero primo si intende un numero divisibile solo per sé stesso e .

Dimostrazione

Dimostriamo per assurdo; supponiamo che l'insieme dei numeri primi sia finito, ovvero:

Definiamo un nuovo numero:
Osserviamo che questo numero non divide nessuno dei numeri primi appartenenti all'insieme sopra definito, è cioè anch'esso primo. Quindi non appartiene all'insieme dei numeri primi e vi appartiene allo stesso tempo, per assurdo è impossibile che i numeri primi siano finiti.

 


La dimostrazione del teorema precedente è stata, tuttavia, semplice, e il teorema stesso era "auspicabile". Ma i seguenti vi sorprenderanno.

Teorema (di Green-Tao)

Esistono progressioni aritmetiche di numeri primi arbitrariamente lunghe.

 


Questo teorema è stato dimostrato solo nel 2004, quindi pochi anni fa, e la dimostrazione non è per nulla semplice, quindi non la forniremo.

La congettura di Goldbach invece è ancora aperta: grazie ai nuovi computer, è stato calcolato che essa è effettivamente valida per numeri davvero molto grandi; manca ancora, però, la dimostrazione matematica.

Congettura di Goldbach Ogni numero pari è somma di due numeri primi.

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L'insieme dei naturali non è ovviamente l'unico insieme numerico con cui abbiamo mai avuto a che fare. può essere ampliato, ottenendo l'insieme dei numeri interi . Questo può essere descritto esplicitamente come:

È immediato notare che .

La rappresentazione dell'insieme degli interi può essere fatta su una retta; scelto il punto e un verso di percorrenza positivo, si prende l'unità di lunghezza a piacere e si replica su di essa. I punti ottenuti sulla retta che vanno da verso il lato positivo saranno i positivi, mentre nel verso opposto ci saranno i negativi. È quindi presente in un ordinamento.

In particolare, l'insieme ha due proprietà fondamentali:

  • Esiste l'opposto;
  • Ha senso la somma.

Possiamo dare delle proprietà dei numeri interi. Dati , avremo che:

  • se ;
  • se ;
  • se .

Proprietà della somma[modifica | modifica wikitesto]

Sono quattro in totale le proprietà dell'operazione somma.

  1. associativa;
  2. esistenza elemento neutro;
  3. esistenza dell'opposto;
  4. commutativa.

L'operazione somma è un concetto che nasce nel cervello con la capacità di contare: prese due quantità distinte, posso sommarle e ottenerne una più grande. Questo è ovviamente il caso della realtà, in cui non esistono grandezze negative. Per esempio, se andassi dal panettiere a e chiedessi "Scusi, potrebbe darmi kg di pane?" riceverei non poche occhiatacce (studi scientifici confermano). La somma tra un numero positivo e un numero negativo sarà quindi una differenza, e si otterrà un numero più piccolo del numero positivo di partenza, mentre la somma di due numeri negativi coinciderà con la somma dei loro valori assoluti ovviamente negativa.

Proprietà dell'ordinamento[modifica | modifica wikitesto]

  1. riflessiva;
  2. transitiva;
  3. antisimmetrica;
  4. dicotomia (o totalità) dell'ordinamento.

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L'insieme numerico dei razionali, , contiene al suo interno gli insiemi e . Possiamo definirlo come:

Questa definizione è valida a meno di doppie scritture, ovvero identificando frazioni equivalenti.

Su hanno senso somma, prodotto e ordinamento. Le proprietà di somma e ordinamento sono le stesse dell'insieme , mentre il prodotto è una nuova operazione.

Proprietà del prodotto[modifica | modifica wikitesto]

  1. associativa;
  2. esistenza elemento neutro;
  3. esistenza dell'inverso;
  4. commutativa.

Oltre alle proprietà di somma, prodotto e ordinamento sono presenti le proprietà di una rispetto all'altra, ovvero:

Somma rispetto all'ordinamento

Somma rispetto al prodotto

Prodotto rispetto all'ordinamento

Metodi di scrittura dei razionali[modifica | modifica wikitesto]

Scrivere un numero razionale è abbastanza semplice: basta scrivere la frazione che lo rappresenta. Eppure, ci sono due modi particolari che risultano utili per diversi aspetti: il primo è utilizzato in molti sistemi e studi particolari (per la programmazione in linguaggio C è molto usata la parte intera), mentre il secondo è utile per sfruttare le proprietà dell'ordinamento.

Parte intera Ogni numero razionale si compone di una parte intera e di una parte decimale. Per fare un esempio:

I vantaggi della scrittura in parte intera sono differenti a seconda dei casi. L'esperienza e la praticità nella semplificazione di frazioni aiuta in questo tipo di scrittura.

Scrittura decimale Un altro modo di scrivere i numeri razionali è rappresentarli in scrittura decimale, ovvero per somma di potenze di prendendo tutte le cifre che compongono la base . Il è ovunque ma non siamo illuminati.

Si può scrivere un numero in base decimale come segue:

Riprendendo l'esempio di :
Quando si passa alle potenze negative del viene messo un punto, per indicare che iniziano le cifre decimali. La parte intera è facilmente individuabile, si trova prima del punto. Quando alcuni numeri dopo la virgola si ripetono periodicamente, si è solito indicare le prime cifre con una sbarra in alto, come segue:
E leggeremo questo numero come dodici virgola quarantacinque periodico. Però, questa scrittura rappresenta un problema. Ci sono due modi diversi di scrivere il numero , in particolare:
Come posso immaginare sulla retta il numero ? Per intuizione posso dividere l'unità in parti uguali, prendere solo l'ultima parte e iterare il processo all'infinito. Non faccio altro che faticare molto per scrivere il numero , che è quindi la stessa cosa. È quindi preferibile la scrittura in parte intera o per frazione alla scrittura decimale. Un ultimo esempio di scrittura decimale:

Principio di Archimede[modifica | modifica wikitesto]

Una buona teoria che si rispetti deve basarsi su dei principi o assiomi. Uno di quelli su cui si fonda la teoria dell'analisi è il famoso assioma di Archimede, che tratteremo più attentamente quando analizzeremo i numeri reali; una diretta conseguenza di quell'assioma è questo principio, che afferma che:

Ovvero, preso un qualsiasi razionale positivo, esisterà sempre un naturale tale che il suo reciproco è minore del razionale preso. Questo principio dimostra che è un insieme discreto e non continuo, ovvero che, per dirla in parole troppo semplici, è bucato.

Cardinalità degli insiemi[modifica | modifica wikitesto]

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