Valore limite e classe limite di una successione

Definizione ed esempi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 5.11

Supponiamo di avere una successione a valori reali. Allora si dice valore limite di se esiste una sottosuccessione di tendente a .

 


Esempio 5.15
  • Una successione convergente ha un unico valore limite, perchè ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite.
  • Presa la successione di termine generale i valori limite sono , .
  • Presa la successione di tutti i razionali, la classe limite della successione è , perchè ogni punto di è un punto di accumulazione per , quindi per ogni punto di accumulazione esiste una sottosuccessione che converge a tale punto.

Si può dimostrare inoltre che la successione non è limitata nè superiormente nè inferiormente.

  • L'insieme dei valori limite (classe limite) di con è l'intervallo .
 


Definizione 5.12

Si definisce classe limite l'insieme dei valori limiti di una successione.

 

Proprietà della classe limite[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 5.10

Sia la classe limite di una successione . Allora

  1. la classe limite non è mai vuota, cioè
  2. è chiusa, cioè ogni punto di accumulazione di valori limiti è valore limite
  3. In , ammette massimo e minimo. (Anche e possono essere massimi e minimi, perchè in sono punti come gli altri.)
 
Dimostrazione

DIMOSTRAZIONE DELLA PROPRIETÀ 1: se la successione considerata è illimitata superiormente esiste una sottosuccessione che tende a e quindi la classe limite non è vuota. Analogamente se fosse illimitata inferiormente.

Se la successione è limitata può avere un numero finito di valori distinti e quindi c'è una sottosuccessione costante, oppure deve avere infiniti valori distinti contenuti in un insieme chiuso e limitato. Allora c'è almeno un punto di accumulazione e quindi c'è una sottosuccessione convergente a quel punto, e tale punto sta nella classe limite.

DIMOSTRAZIONE DELLA PROPRIETÀ 2:

Supponiamo di avere un punto di accumulazione di punti di valori limiti. Dobbiamo trovare una sottosuccessione che converge a . Considero l'intorno . Poichè è punto di accumulazione, nell'intorno considerato ci sarà almeno un valore limite . Considero un intorno di che stia tutto nell'intervallo ed estraggo un elemento della successione che stia in questo intervallo, e lo chiamo (tale elemento esiste perché è un valore limite e quindi esiste una sottosuccessione della successione originaria che converge ad esso).

Analogamente, considero un intorno centrato in e di raggio . In ci sarà almeno un valore limite che chiamo . Essendo valore limite, considero un suo intorno che stia in e prendo un elemento della successione che sta nell'intorno, e lo chiamo .

Procedendo in questo modo, considero poi i punti rispettivamente negli intorni di centro e raggi .

Costruisco in questo modo la successione tale che La successione tende a quando e quindi è valore limite.

La DIMOSTRAZIONE DELLA PROPRIETÀ 3 è immediata: o non è limitata superiormente e quindi l'asserto vale, altrimenti per la proprietà 2 il sup della classe limite è massimo, perché vi appartiene.

 

Caratterizzazione di massimi e minimi della classe limite[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 5.13

Il massimo della classe limite di una successione si chiama limite superiore e si indica con . Il minimo della classe limite si chiama limite inferiore e si indica con .

 

Valgono le seguenti osservazioni:

  • Sia allora se e solo se , definitivamente , ma non è necessariamente minore di definitivamente.
  • Analogamente, se e solo se , definitivamente , ma non vale necessariamente .
  • Una successione converge se e solo se .
Dimostrazione

Se , allora la successione è definitivamente maggiore di ; se inoltre , la successione è definitivamente minore di , allora, , esiste tale che per ogni , , cioè la successione converge a .

 

Si ha anche che

cioè il massimo e il minimo limite e quindi il limite si possono definire mediante sup e inf.

 PrecedenteSuccessivo