Successioni in R^k

Definizione 5.10

Dato un vettore la norma euclidea di si definisce come

 

Valgono le seguenti proprietà:

  1. (la radice quadrata è sempre positiva)
  2. se e solo se è il vettore nullo;
  3. se moltiplico un vettore per uno scalare,
  4. se ho due vettori e si ha che (disuguaglianza triangolare)

In valgono anche le seguenti condizioni:

  1. La norma di un vettore in lunghezza è minore uguale della somma dei moduli delle coordinate.

La norma euclidea in rappresenta la usuale distanza del punto dall'origine.

E' possibile definire una distanza tra due punti e , ponendo

L'espressione sopra soddisfa le proprietà della distanza. Dalla proprietà 4 segue immediatamente la disuguaglianza triangolare.

Dalle due proprietà precedenti segue che:

Da questa catena di disuguaglianze si ricava subito il seguente teorema.

Teorema 5.9

Data una successione in della forma allora

se e solo se la successione a valori reali di ogni componente tende rispettivamente a .

 
Segue che per calcolare i limiti in ci si riconduce al caso reale.
Esempio 5.14

Se considero la successione di termine generale , la prima componente tende a 0, la seconda tende a 1, quindi la successione di vettori bidimensionali tende a .

 

Se una componente della successione non converge, è immediato vedere che anche la successione non converge.

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