Condizione di Cauchy

Se una successione ammette limite, tutti i punti della successione si avvicinano al limite e quindi si avvicinano tra loro, ci poniamo il problema se vale il viceversa.

Successione di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 5.14

Sia uno spazio metrico e sia una successione in . La successione si dice di Cauchy se avviene quanto segue:

(questo significa che se prendo due punti con indici abbastanza grandi essi stanno vicini tra loro)

 


Osservazione 5.6

Ogni successione convergente a un limite è di Cauchy.

 
Dimostrazione

Fissato , t.c. segue che . Per ogni , . Allora per la disuguaglianza triangolare:

 
Non vale il viceversa, infatti considero i seguenti esempi!
Esempio 5.16

Prendo una successione di razionali che converge ad un irrazionale, pensata nell'insieme dei reali. Questa successione in converge. Pensata nell'insieme dei razionali questa successione è di Cauchy ma non converge.

Se considero l'intervallo aperto la successione non converge pur essendo di Cauchy.

 

Spazio metrico completo[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 5.15

Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy a valori nello spazio è convergente a un punto dello spazio.

 
non è completo.
Teorema 5.11

è completo: ogni successione di Cauchy in è convergente.

 


Dimostrazione

Mostriamo prima che una successione di Cauchy è limitata (i punti stanno vicini tra loro). Fissato per si ha che . Questo implica per . L'insieme è limitato, se gli aggiungiamo i primi con (un numero finito di termini) è ancora limitato.

Un insieme limitato sta dentro un compatto. Allora c'è una sottosuccessione convergente a entro .

Mostriamo che tutta la successione converge al limite. Se la sottosuccessione converge a , significa che

ma la successione è di Cauchy, quindi
Posso scegliere . Se scelgo un ,
Per la formula 2, , e per la formula 1, , allora
e la successione converge a .

 


Teorema 5.12

Ogni spazio metrico compatto è completo (non vale viceversa).

 

Il secondo teorema si dimostra allo stesso modo.

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