Punti esterni interni e di frontiera

Dato uno spazio metrico e un suo sottoinsieme :
Definizione 4.4

Un punto si dice punto interno di se esiste una sfera tutta contenuta in .

 

Poichè sta nella sfera, ovviamente deve appartenere ad .

Non tutti i punti appartenenti ad sono punti interni.
Definizione 4.5

in si dice esterno ad se esiste una sfera tale che intersecata con è l'insieme vuoto, cioè se esiste una sfera di centro che non ha punti in comune con , ma sta nel suo complementare.

 


Definizione 4.6

Dato l'insieme sottoinsieme di , l'insieme complementare è l'insieme degli in tali che non appartiene ad .

 
Se coincide con , il complementare è l'insieme vuoto.
Definizione 4.7

Un punto si dice di frontiera per se non è nè interno nè esterno, cioè tutte le sfere centrate in contengono punti di e punti non appartenenti ad , cioè .

 

L'insieme dei punti interni di si denota con .

L'insieme dei punti di frontiera si denota
Esempio 4.2

Lo spazio metrico considerato è dove è la distanza euclidea.

  1. Considero l'insieme contenuto in , tale che . , ma non è interno, perchè non esiste un intervallo centrato in 1 di lunghezza r, tale che . Questo dipende dalla proprietà della densità di . Per lo stesso motivo non è un punto esterno. è un punto interno, se scelgo ad esempio . In conclusione, i punti interni sono tutti i punti dell'intervallo aperto ; i punti esterni sono quelli minori di 0 e maggiori di 1; sono punti di frontiera.
  2. Sia . non ha punti interni, perchè dati due punti tra essi ci sono infiniti irrazionali. non ha nemmeno punti esterni, perchè preso un punto e un intervallo centrato nel punto, in esso sono contenuti infiniti razionali. Tutti i punti di sono punti di frontiera per .
 

Metrica indotta su un sottoinsieme[modifica | modifica wikitesto]

Ogni sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico può essere pensato a sua volta come uno spazio metrico, su cui mettiamo la metrica indotta dallo spazio , cioè la metrica di ristretta al prodotto cartesiano .
Esempio 4.3

Sia , . può essere considerato come un nuovo spazio metrico, dove è la metrica indotta da . Tutti i punti dell'intervallo sono interni ad .

Prendo ora un insieme , ad esempio . I punti interni a sono quelli contenuti nell'intervallo . Il punto è punto di frontiera. I punti esterni sono quelli nell'intervallo .

Se pensiamo a nello spazio metrico , i punti di frontiera diventano . I punti interni sono quelli nell'intervallo e i punti esterni sono negli intervalli .

 
Considero e una sfera . La bolla di centro e raggio nello spazio metrico è l'intersezione tra e la sfera nello spazio metrico .
Osservazione 4.1

Considerato l'insieme con una metrica fissata. Fisso un positivo e considero . Allora

  • I punti interni alla palla sono tutti i punti della palla.
  • Ogni punto nella sfera ha distanza da .
  • Ogni punto è centro di una sferetta tutta contenuta nella sfera grande, posso sceglierla ad esempio di raggio .
  • I punti esterni sono tutti i punti con distanza da maggiore di .
  • I punti di frontiera sono quelli con distanza esattamente uguale a da .
 

Punto di accumulazione per un insieme[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.8

Considero uno spazio metrico e un sottoinsieme di . Un punto di si dice di accumulazione per se ogni sfera centrata in e di raggio intersecata con contiene almeno un punto di diverso da . Tale punto non deve necessariamente appartenere ad .

 
Una definizione equivalente per un punto di accumulazione è data dal seguente teorema:
Teorema 4.2

Se è di accumulazione per , allora ogni sfera contiene infiniti punti di .

 
Dimostrazione

Bisogna dimostrare che in ogni intorno di esistono infiniti punti di . Fissiamo un punto e un suo intorno circolare di raggio . Allora nella sfera deve stare almeno un punto diverso da .

La sua distanza da sarà maggiore di 0 e minore di . Chiamiamo la distanza di da . Consideriamo la sfera centrata in di raggio , . Il punto non è interno alla sfera.

Nella nuova sfera deve esserci almeno un punto di diverso da , che chiamo . Chiamo la distanza da a . Allora .

Considero , che conterrà un punto diverso da , e posso procedere così. Ho dimostrato che fissata una sfera iniziale qualsiasi, essa contiene infiniti punti di .

 
Segue quindi che un insieme finito non ha mai punti di accumulazione.
Esempio 4.4
  • Considero : qualsiasi punto di è un punto di accumulazione per , perchè in ogni intorno di ci sono punti di .
  • non ha punti di ccumulazione su . Preso un punto qualsiasi di , esso può essere intero o non intero. Se supponiamo che sia un intero, in un suo intorno di raggio , per esempio, non c'è nessun altro intero diverso da . Se non è intero, sia l'intero che ha distanza minima da . basta prendere un intorno di raggio (per piccolo) e centrato in , allora tale intorno non contiene nessun punto di .
  • Prendo un insieme qualsiasi con la metrica discreta. Preso un punto qualsiasi dell'insieme e un intorno centrato in di raggio , solo il punto è contenuto in tale intorno. Quindi in un insieme con la metrica discreta non ci sono punti di accumulazione per l'insieme.
 

Punto isolato[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.9

Un punto si dice isolato per se esiste maggiore di 0 tale che contiene solo .

 


Esempio 4.5

Dalle osservazioni precedenti segue che contenuto in è fatto solo da punti isolati. Uno spazio con la metrica discreta è fatto solo da punti isolati.

 


Esempio 4.6

Sia

Osservo che

  • l'insieme non ha punti interni;
  • 0 è un punto di accumulazione per ;
  • I punti esterni sono tutti i punti di esclusi quelli di ed escluso 0.
 
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