Insiemi aperti e chiusi

Insieme aperto[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.10

Un insieme in uno spazio metrico si dice aperto in se ogni punto di è punto interno ad . In altre parole, coincide con .

 


Esempio 4.7
  • Dato un punto e , una sfera in qualsiasi spazio metrico è un insieme aperto.
  • In l'intervallo non è aperto perchè 0 è punto di frontiera. Analogamente l'intervallo in non è aperto.
  • Bisogna sempre specificare dove si considera l'insieme. Ad esempio, preso nello spazio metrico esso non è aperto. Se considero come spazio metrico globale, esso è aperto.
  • L'intervallo come sottoinsieme di è aperto nello spazio metrico considerato.
 

Insieme chiuso[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.11

Fissato uno spazio metrico , un insieme contenuto in si dice chiuso in se il suo complementare è aperto.

 


Esempio 4.8
  • in non è aperto, perchè il suo complementare, l'insieme degli irrazionali, non è aperto.
  • in è chiuso, perchè il suo complementare è aperto ed è l'unione di intervalli aperti.
  • L'insieme in definito come è chiuso.
  • L'insieme non è chiuso (il suo complementare contiene lo zero che non è interno ad esso).
  • in è sia chiuso che aperto.
  • L'insieme vuoto è sia chiuso che aperto.
 


Teorema 4.3

Dato uno spazio metrico e uno spazio contenuto in , allora è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione .

 

(L'insieme dei punti di accumulazione di si indica con .)

Dimostrazione

: Sia chiuso e quindi aperto. Vogliamo dimostrare che contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Sia un punto di accumulazione per . Supponiamo per assurdo che . Se non sta in , sta in . Ma è aperto, allora esiste una sferetta centrata in e con raggio tutta contenuta nel complementare, quindi . Allora non è di accumulazione per . Questo è assurdo e va contro l'ipotesi. : viceversa, supponiamo che contenga . Vogliamo mostrare che non è aperto. Prendo un punto .

Allora non può essere un punto di accumulazione per , perchè per ipotesi i punti di accumulazione stanno in . Allora esiste un intorno centrato in e di raggio , t.c. . Segue che è punto esterno e è è aperto.
 

Quindi vale la seguente caratterizzazione: gli insiemi chiusi contengono tutti i propri punti di accumulazione.

Chiusura di un insieme[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.12

Dato un insieme , si chiama chiusura di , indicata con , l'insieme , ovvero l'unione tra e i suoi punti di accumulazione.

 

è il piu piccolo insieme che contiene .


Teorema 4.4
  1. La chiusura di un insieme è un insieme chiuso, cioè contiene tutti i propri punti di accumulazione.
  2. Se è chiuso, allora segue che
  3. Se contiene , segue che la chiusura di contiene la chiusura di .
  4. Se è un chiuso e contiene , segue che contiene anche .
 


Dimostrazione
  1. Bisogna dimostrare che ogni punto di accumulazione della chiusura appartenga alla chiusura stessa. Sia . Prendo un punto che appartiene a , ovvero un punto di accumulazione di . Allora in ogni suo intorno ci sono punti di . Prendo un intorno di raggio e centrato in , che chiamo . Allora non è vuoto. Nella sfera prendo un punto appartenente a , con . Prendo un intorno che non contiene e tutto contenuto in . Essendo un punto di , può essere un punto di oppure un punto di accumulazione per . Se appartiene a , ho già trovato il punto di che stava nella sferetta . Se è un punto di accumulazione per , allora in esiste entro e quindi abbiamo dimostrato che fissato un punto di accumulazione per in ogni suo intorno è contenuto almeno un punto di , e quindi è anche punto di accumulazione per e sta in . Quindi è chiuso perchè contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
  2. Se è chiuso, contiene , quindi è chiuso
  3. Se contiene , contiene . Ogni punto di accumulazione per è anche punto di accumulazione per .
  4. Se è chiuso e contiene , contiene anche i punti di accumulazione per , che sono anche punti di accumulazione per . Quindi contiene , perchè contiene gli elementi di e i suoi punti di accumulazione.
 


Esempio 4.9
  1. La chiusura di è .
  2. Preso l'insieme , la chiusura è .
  3. La chiusura dell'insieme dei punti della forma per , è l'unione di tale insieme con ;
  4. La chiusura dell'intervallo è l'insieme dei punti compresi tra 0 e 1 estremi inclusi.
  5. Nello spazio ambiente prendo i razionali compresi tra 0 e 1. La chiusura è l'insieme stesso.
 

Proprietà dei chiusi[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 4.2

Sia un insieme chiuso contenuto in . Sia limitato superiormente. Allora , cioè ammette massimo.

Infatti, il può essere un punto isolato per l'insieme oppure un punto di accumulazione. Se è punto isolato, allora appartiene ad ed è massimo. Se il è un punto di accumulazione, è chiuso e quindi lo contiene.
 

Proprietà dei chiusi e degli aperti[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.5
  1. Fissato con una distanza , supponiamo di avere una famiglia di aperti in , al variare di in un insieme di indici. Allora segue che l'unione degli è aperto.
  2. Se sono aperti, allora segue che l'intersezione è aperta. (L'intersezione di un numero finito di aperti è aperto.)
  3. Se sono una famiglia di chiusi, l'intersezione è chiusa.
  4. Se sono chiusi, segue che l'unione è chiusa.
 
Dimostrazione
  1. Per mostrare che l'unione di una famiglia numerabile di aperti è aperta, bisogna dimostrare che ogni punto nell'unione è un punto interno. L'unione è un insieme non vuoto. Preso il punto , esso sarà contenuto in uno degli , che chiamo . Siccome è aperto, allora esiste un intorno contenuto nell'insieme aperto , perchè è punto interno di . Allora l'intorno è contenuto anche nell'unione. Quindi l'unione è un insieme aperto.
  2. Per mostrare che l'intersezione di un numero finito di insiemi è aperta, bisogna dimostrare che se prendo un punto nell'intersezione, allora il punto è interno. Un punto appartenente all'intersezione è contenuto in ogni insieme dell'intersezione. Siccome gli insiemi che sto considerando sono aperti, in ognuno di essi esiste un intorno circolare di contenuto nell'insieme. Preso l'intorno con raggio piu' piccolo, esso è contenuto in tutti gli insiemi dell'intersezione. Allora sta anche nell'intersezione. Nota: la dimostrazione non vale nel caso di un numero infinito di insiemi, infatti non è detto che sia possibile prendere il minimo dei raggi di un numero infinito di intorni. Come controesempio, in , considero gli intorni della forma . L'inf dei raggi è 0, e l'intorno di raggio 0 si riduce all'origine.
  3. Per mostrare che l'intersezione di una famiglia di chiusi è chiusa, dobbiamo dimostrare che il complementare è aperto. Il complementare dell'intersezione di insiemi è l'unione dei loro complementari: in questo caso, il complementare dell'intersezione di infiniti insiemi chiusi è l'unione di infiniti aperti, che per la proposizione precedente è aperta.
 
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