Distanze

Definizione 4.1

Uno spazio metrico è un insieme con una distanza con le seguenti proprietà:

  1. , la distanza tra i due punti è sempre maggiore o uguale a 0: ;
  2. , la distanza tra due punti è uguale a 0 se e solo se i due punti coincidono: se e solo se . (Due punti distinti hanno sempre distanza maggiore di 0);
  3. , la distanza è simmetrica: ;
  4. , la distanza di da è minore uguale della somma delle distanze da a e da a :
 
Due spazi metrici sono uguali se hanno gli stessi punti e la stessa distanza.
Esempio 4.1 (esempi di metriche)
  1. Presi due punti allora si può porre . Il modulo è sempre maggiore di 0 ed è uguale a 0 solo se . Vale la disuguaglianza triangolare.
  2. La metrica discreta vale per tutti gli insiemi. Preso un insieme qualsiasi, definisco la distanza discreta
  3. Sulla superficie di una sfera due distanze significative tra due punti sono la corda e l'arco.
  4. Su oltre alla distanza euclidea si possono definire altre distanze. Dati due punti e su , e , si può definire:
    1. (euclidea)
 

Lo spazio metrico è definito da un insieme di punti e da una distanza. Come già osservato, su un insieme si possono definire diverse distanze.

Vediamo un modo per generare distanze diverse.

Dato un insieme qualsiasi, considero una funzione iniettiva . Allora si può definire con . Si verifica che si ottiene una distanza su ad esempio:

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