Compattezza

Limitatezza[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.13

Dato uno spazio metrico e un sottoinsieme , definiamo il diametro di come .

 
Può capitare che il diametro di un insieme sia . Ad esempio, se in , il delle distanze tra coppie di punti di è . Il diametro di un insieme è un numero finito o infinito.
Definizione 4.14

Un insieme si dice limitato se il diametro di è finito.

 


Esempio 4.10

In uno spazio con la metrica discreta, qualsiasi insieme è limitato perchè il diametro di un insieme può essere solo o 0 o 1.

 


Osservazione 4.3
  1. Dato un insieme in , allora segue che se e solo se o o è un singleton.
  2. Se è contenuto in , .
  3. Il diametro di è uguale al diametro della chiusura di (dimostrazione per esercizio).
  4. Se e , allora . (L'unione di due insiemi a diametro finito ha ancora diametro finito)
  5. In particolare, un insieme con un numero finito di punti non può avere diametro infinito.
  6. Un insieme ha diametro finito se e solo se è contenuto in un'opportuna sfera.
 

Copertura aperta[modifica | modifica wikitesto]

In un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. In uno spazio metrico generico questo non è vero.
Definizione 4.15

Sia uno spazio metrico e un sottoinsieme di . Si definisce copertura aperta di l'unione di insiemi aperti, per che varia in un insieme di indici, tali che sia contenuto nell'unione degli .

 


Esempio 4.11
  1. Sia , e l'intervallo . Una copertura di è l'insieme degli intorni centrati nei punti di e di raggio , cioè per ogni punto considero l'intorno.Tramite l'unione di questi intervalli copro tutto .
  2. Preso , prendo la copertura , dove .
 


Definizione 4.16

Preso lo spazio metrico e l'insieme contenuto in (può anche coincidere con o essere l'insieme vuoto), si dice compatto se da ogni copertura aperta di tale che è possibile estrarre una sottocopertura finita, cioè esistono tali che la loro unione contiene ancora .

 

Quindi, dato uno spazio metrico e un sottoinsieme , si dice compatto se da ogni copertura aperta di B, si può estrarre una copertura finita di . (Cioè dalla famiglia di aperti si può scegliere un numero finito di aperti per cui la loro unione contiene ancora ).

Per dimostrare che un insieme non è compatto basta trovare una copertura da cui non sia possible estrarre la sottocopertura finita.
Esempio 4.12

In consideriamo l'intervallo semiaperto . Per mostrare che l'intervallo non è compatto basta mostrare una copertura dalla quale non è possibile estrarre una sottocopertura. Prendo la famiglia degli insiemi . contiene tutto l'intervallo . Da questa copertura non è possibile estrarne una finita, cioè non è possibile trovare tali che la loro unione contenga l'intervallo .

Infatti se supponiamo per assurdo che sia un sottoricoprimento finito e che

segue che I punti dell'intervallo non sono compresi nell'unione finita, quindi l'intervallo non è compatto.

 


Esempio 4.13

Prendo un insieme infinito, con la metrica discreta. Un sottoinsieme infinito di non è mai compatto. Infatti, se si copre l'insieme con l'unione dei singleton di , non è possibile estrarne una sottocopertura finita. Con la metrica discreta i compatti sono solo gli insiemi finiti.

 
Un insieme finito è sempre compatto in qualsiasi spazio metrico.
Teorema 4.6

Siano uno spazio metrico e sia compatto. Allora:

  1. è chiuso;
  2. è limitato;
  3. ogni sottoinsieme infinito di ammette un punto di accumulazione in .
 


Esempio 4.14

L'intervallo non è chiuso. Preso un sottoinsieme infinito dell'intervallo, ad esempio l'insieme dei punti della forma al variare di , questo sottoinsieme ha come punto di accumulazione 0, che non appartiene all'intervallo . Non valgono 1 e 3 da cui l'intervallo non è compatto.

 


Dimostrazione
  1. UN COMPATTO DEVE ESSERE CHIUSO: Supponiamo per assurdo che sia compatto ma non chiuso. Questo implica che esiste almeno un punto di accumulazione di che non appartiene a (infatti un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i punti di accumulazione). Sia entro di accumulazione per e non appartenente a . Costruiamo una copertura dell'insieme fatta in questo modo: per ogni punto , associamo una sfera di centro e raggio dove . La sfera è un aperto. L'unione degli al variare di in copre . Ognuna delle sfere non contiene . Dimostro che non posso estrarre una copertura finita. Supponiamo di avere la sottocopertura finita . Sia . Se prendo la sfera centrata in e di raggio , essa non interseca nessuna delle sfere della sottocopertura aperta. Nella sfera ci sono infiniti punti di poichè è punto di accumulazione per . Quindi la sottocopertura che ho considerato non è una copertura finita di . Da qui se è compatto, deve essere chiuso.
  2. UN COMPATTO DEVE ESSERE LIMITATO. Un insieme è limitato se ha diametro finito. Sia non limitato. Allora, se prendo una sfera di raggio qualunque, ci sono dei punti di che non stanno dentro alla sfera. Scelgo un punto . Considero tutte le sfere di centro e raggio . L'unione di tutte le sfere di raggio e centro copre . Non posso prendere una copertura finita di . Infatti, se prendo un numero finito di sfere e ne faccio l'unione queste sono contenute in ove . L'unione degli aperti è una sfera piu' grande. Ma l'insieme è illimitato e non può essere contenuto nella sfera . Quindi l'insieme, se è compatto, è limitato.
  3. IN UN COMPATTO OGNI SOTTOINSIEME INFINITO HA ALMENO UN PUNTO DI ACCUMULAZIONE. Per assurdo supponiamo che esista un sottoinsieme contenuto in compatto con infinito con . Costruiamo la copertura di . Se appartiene a , siccome non ha punti di accumulazione in , riesco a trovare una bolla tale che la sua intersezione con sia vuota. Se , prendo un intorno tale che . Quindi ad ogni punto di ho associato una sfera, e l'unione di tali sfere copre . Da questa copertura non posso estrarre una sottocopertura finita, perchè è infinito, quindi una copertura finita coprirebbe un numero finito di punti di perché ogni sfera contiene al più un punto di .Siccome non è possibile estrarre una sottocopertura finita che contenga tutti i punti del sottoinsieme di , allora non è compatto, assurdo.
 

Nota: Se non fosse compatto, il terzo punto del teorema non varrebbe. Si pensi a : non è compatto perchè è illimitato, e il sottoinsieme non ha punti di accumulazione.

Si potreebbe dimostrare che in generale vale il seguente:

Teorema 4.7

Sia spazio metrico e sia entro un sottoinsieme. Allora è compatto se e solo se ogni sottoinsieme contenuto in e con infiniti punti, ammette almeno un punto di accumulazione in .

 


Esempio 4.15

L'insieme non è compatto. Invece l'insieme è compatto, perchè ogni suo sottoinsieme ammette almeno un punto di accumulazione in (lo zero).

 

Proprietà dei compatti[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.8

Considero lo spazio metrico , e entro compatto, e considero contenuto in , chiuso. Allora è compatto. (In generale però, non è vero che il sottoinsieme di un compatto è sempre compatto.)

 
Dimostrazione

Devo dimostrare che da ogni copertura aperta di è possibile estrarre una sottocopertura finita.

Sia una copertura aperta di . Se ad essa aggiungo anche il complementare di , ho una copertura anche di . è aperto perchè è chiuso. Allora la copertura copre B. Allora posso estrarre una sottocopertura finita di , poichè è compatto per ipotesi: sia essa . Allora segue che copre , perchè non copre nessun punto di , quindi può essere tolto dalla sottocopertura considerata.

 


Teorema 4.9 (importante)

Su uno spazio metrico supponiamo di avere una famiglia di compatti tali che . Allora non è vuota.

 


Esempio 4.16

Mostriamo con un esempio che se gli insiemi non sono compatti, la tesi può cadere. Consideriamo gli intervalli (al variare di ), cioè gli intervalli centrati in 0 a cui tolgo il centro. L'intersezione di questi insiemi è vuota.

 

Teorema di Heine-Borel[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.10

[Di Heine-Borel] Considero lo spazio con la metrica euclidea. Sia un sottoinsieme di . è compatto in se e solo se è chiuso e limitato.

 

In uno spazio metrico generico, ogni compatto dev'essere chiuso e limitato, ma non vale in generale il viceversa.

Un insieme può essere chiuso e limitato ma non compatto.

In invece l'essere chiuso e limitato, o compatto sono equivalenti.
Esempio 4.17
  1. Se in considero la chiusura della sfera essa è un compatto, perchè soddisfa le condizioni del teorema di Heine-Borel: essendo una chiusura è chiusa ed essendo una sfera, è limitata.
  2. In prendo l'insieme
    L'insieme è limitato perchè, ad esempio, può essere contenuto in una sfera di raggio . L'insieme però non è chiuso, infatti, ad esempio, il punto è di accumulazione per ma non è contenuto nell'insieme, quindi l'insieme non è chiuso e non è compatto.
  3. In considero l'insieme . L'insieme non è compatto, perchè non è limitato.
  4. L'insieme in non è chiuso, quindi non è compatto.
  5. L'insieme non è chiuso perchè tutti i punti irrazionali sono di accumulazione e non stanno nell'insieme.
  6. L'insieme , , quest'insieme è chiuso e limitato quindi è compatto.
  7. Prendo l'insieme con la metrica euclidea e considero : non posso applicare il teorema di Heine-Borel perché lo spazio metrico considerato non è . A ogni punto dell'insieme associo un intorno con , e considero la copertura aperta formata da questi insiemi. Da questa copertura non riesco a estrarne una finita. L'intervallo non è compatto.
 


Osservazione 4.4

Supponiamo di avere uno spazio metrico e un sottoinsieme . Allora possiamo considerare lo spazio metrico . è compatto in se e solo se è compatto in . Gli aperti in sono l'intersezione di un aperto in con cioè:

è un aperto in , se e solo se , ove è un aperto di . Una copertura aperta di è quindi estendibile a una copertura aperta di .

Se dalla copertura di in è possibile estrarre una sottocopertura finita, questo è anche possibile per la copertura di in e viceversa.

In sintesi, se la compattezza vale in uno spazio metrico, allora vale anche nel sottospazio metrico che si ottiene restringendosi ad un sottoinsieme .

 
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