Criterio di Leibniz

E' un Criterio di convergenza per le serie a segni alterni.
Teorema 6.6 (Criterio di Leibniz)

Supponiamo di avere una serie:

tale che siano soddisfatte tutte e tre le seguenti condizioni:

  1. (cioè la serie è a segni alterni)
  2. , (altrimenti la serie non sarebbe convergente);
  3. (cioè la serie è monotona decrescente);

allora la serie converge.

 
Dimostrazione

Scrivo per esteso il termine n-esimo della serie:

Per la condizione 3, le somme parziali arrestate a pari sono monotone decrescenti, infatti
quindi
Invece, le somme parziali arrestate a dispari sono monotone crescenti, infatti:
quindi
La successione delle somme parziali arrestata ai termini pari è limitata inferiormente, infatti tutti i termini sono maggiori di poiché, per la formula 2, . Essendo decrescente e limitata inferiormente, la successione converge. Per un ragionamento analogo la successione delle somme parziali arrestate ai termini dispari è crescente, limitata superiormente da , quindi converge.

Inoltre, quindi le successioni e convergono allo stesso limite , quindi la serie converge perché la successione delle somme parziali converge a .

 


Esempio 6.7

La serie non converge assolutamente, ma si può capire che converge applicando il criterio di Leibniz.

 
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