Criteri per la convergenza di serie a termini positivi

Criterio del rapporto[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 6.3 (Criterio del rapporto)

Se allora converge.

 
Dimostrazione

Da si ricava che

La serie geometrica è la serie geometrica con ragione e converge, quindi anche la serie converge per il teorema del confronto.

 


Esempio 6.4

Considero la serie Se ho una serie a termini positivi, altrimenti ho una serie a segni alterni.

Considero la serie dei moduli e dimostro che converge, da cui segue la convergenza della serie di partenza, per ogni .

Applico il criterio del rapporto

La serie dei moduli converge perchè ho ottenuto un numero minore di 1.

 

Criterio della radice[modifica | modifica wikitesto]

Deriva dal criterio del confronto con la serie geometrica.
Teorema 6.4 (Criterio della radice)

Considero la serie . Se si mantiene definitivamente allora la serie converge. Se la serie diverge.

 
Dimostrazione

Elevo alla entrambi i membri della relazione , che vale per ipotesi, e ottengo , che deve valere definitivamente. Allora per il criterio del confronto, siccome con converge, anche converge.

 
Quindi: se la serie converge come abbiamo appena dimostrato, se la serie diverge (infatti e quindi non vale la condizione necessaria per la convergenza), se la serie potrebbe avere qualsiasi carattere.
Esempio 6.5

Applico il criterio della radice per determinare il carattere della serie .

e quindi il limite vale , cioè la serie converge per il criterio della radice.
Alternativamente si può usare questo procedimento:
definitivamente. La serie è la serie geometrica con ragione minore di 1, quindi converge. Allora per il teorema del confronto la serie di partenza converge.

 

Criterio di condensazione[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 6.5 (criterio di condensazione)

Supponiamo di avere una serie a termini positivi, che soddisfa la condizione . (I termini decrescono come succedeva per la serie armonica.) Allora le due serie e hanno lo stesso carattere.

 

Questo criterio è utile perchè a volte è piu' facile capire il comportamento della serie condensata piuttosto che quello della prima.

Dimostrazione

Consideriamo la differenza tra le somme parziali arrestate al termine e quelle arrestate al termine , che è una somma di termini, infatti:

Convergenza
Poiché la serie è monotona decrescente, vale la disuguaglianza . Scrivendo come somma di una serie telescopica, si ha, per la disuguaglianza precedente
e se la serie condensata converge, è limitato superiormente e quindi converge.
Divergenza
Si ha anche che :e quindi se la serie condensata diverge, la successione non è limitata superiormente e quindi la serie diverge.
 

Applicazione del criterio di condensazione[modifica | modifica wikitesto]

Considero serie della forma , e ne determiniamo il carattere per ogni valore di . Per il criterio di condensazione la serie ha lo stesso carattere della serie condensata

che è la serie geometrica di ragione . Questa serie diverge se vale la disuguaglianza
cioè per la serie diverge, per la serie converge.

Consideriamo ora serie della forma

  1. per , , la serie converge, il logaritmo è del tutto ininfluente; Se , posso porre , e la serie si riscrive come
    Ma per , quindi il termine generale della serie di partenza è minore o uguale di , e la serie converge essendo della forma con , allora la serie di partenza converge per il criterio del confronto.
  2. per , la serie diverge, il logaritmo è ininfluente, perchè prevale la potenza (lo si mostra con un ragionamento analogo a quello del punto precedente);
  3. per e la serie converge; Se , la serie si riduce a . Applico il criterio di condensazione:
    e per le proprietà dei logaritmi
    è una costante, e segue subito che se la serie converge.
  4. per e la serie diverge; (si ricava dal ragionamento al punto precedente).


Esempio 6.6

Studiamo il carattere della serie

e se Raccolgo :
e semplificando:
osservo che , quindi
Sappiamo che vale il limite notevole , quindi
La serie converge, essendo della forma con , quindi anche la serie di partenza, che ha termine generale asintotico a questa, converge.

 
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