Convergenza di una serie

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una successione in . Quindi esiste anche una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie, poiché una serie è la successione delle somme parziali.

Sappiamo che la serie converge se e solo se converge la successione , e quindi se vale la condizione di Cauchy per le successioni:

Riscrivendo in modo equivalente la differenza , si ottiene la seguente condizione:

Teorema 6.1 (condizione di Cauchy per le serie)

La serie è convergente se e solo se esiste un tale che per ogni e si ha .

 

Convergenza assoluta[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 6.2

Si dice che converge assolutamente se converge , e quindi se converge la serie dei moduli.

 


Osservazione 6.2

Se una serie converge assolutamente, allora converge (anche in senso ordinario), cioè, se converge la somma dei moduli di , converge anche .

 
Dimostrazione

Per far vedere che converge mostriamo che è verificato il criterio di Cauchy.

Per ipotesi la somma dei moduli converge, quindi vale il criterio di Cauchy per la serie dei moduli, cioè, se fisso t.c. si ha . Siccome il modulo della somma è minore uguale della somma dei moduli, quest'ultima condizione implica che e quindi che verifica la condizione di Cauchy, e quindi la serie è convergente.

 


Esempio 6.1

Il viceversa non vale, come mostra il seguente controesempio. Se ho infiniti termini negativi e positivi essi potrebbero compensarsi, nella serie senza moduli in modo che la serie converga, ma questo non avverrebbe nella serie con i moduli.

Considero ad esempio la serie . Allora

In particolare,
La serie converge a 0.
Considero invece la serie dei moduli , indichiamo con la successione delle sue somme parziali.
ove è la somma parziale -esima della serie armonica, quindi non è limitata: la serie dei moduli diverge.

 

Teorema del confronto[modifica | modifica wikitesto]

Un numero finito di termini non influisce sulla convergenza di una serie, ma solo sulla somma. Inoltre, vale:
Teorema 6.2 (teorema del confronto)

Consideriamo serie con termini positivi. Supponiamo di avere tre serie . Sui loro termini per ogni vale la seguente relazione: . Allora:

  1. se converge, anche converge (se la serie con termini piu' grandi converge, anche quella con termini piu' piccoli converge). si dice maggiorante di .
  2. se diverge, anche diverge (se diverge la serie con termini piu' piccoli, anche quella con termini piu' grandi diverge). si dice minorante di
 
Dimostrazione

L'ipotesi implica che . Allora

  1. Se converge, allora è limitata, perchè tende alla somma per difetto, quindi , summa parziale di una serie a termini positivi, è limitata, e quindi converge.
  2. Se la serie diverge, e quindi non è limitata e diverge.

Nota: Se la disuguaglianza vale per , non posso scrivere . Ma posso scrivere , poichè , , sono costanti, valgono ancora le considerazioni precedenti.

 


Osservazione 6.3

Supponiamo , , , allora le serie e hanno lo stesso carattere.

 
Dimostrazione

Per definizione, significa che per abbastanza grande . Quindi, definitivamente vale . Allora per il teorema del confronto, siccome e diverge, anche diverge. Inoltre, siccome definitivamente , se converge anche converge.

 


Esempio 6.2

converge, perchè è asintotica alla serie di Mengoli, che converge.

 


Esempio 6.3

Consideriamo serie a termini non negativi della forma

  • .


Per si ha che . Siccome la serie armonica diverge, anche la serie considerata che ha termini piu' grandi diverge. Per , la serie ha termini piu' piccoli della serie di Mengoli, quindi converge.

Per si può dimostrare che la serie converge solo con il criterio di condensazione.

  • . Il termine generale di questa serie è asintotico a , quindi la serie diverge.
  • Considero la serie a termini negativi .

Si nota che per il limite notevole, e . converge, quindi anche la serie iniziale converge.

 
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