Operazioni nell'insieme R

Somma nell'insieme R

Definizione 1.4

Dato un numero $\alpha =\pm m,c_{1}\,c_{2}\dots c_{n}\dots$$\alpha =\pm m,c_{1}\,c_{2}\dots c_{n}\dots$, definisco la sua troncata $n$$n$-esima $\alpha ^{(n)}=\pm m,c_{1}\,c_{2}\dots c_{n}$$\alpha ^{(n)}=\pm m,c_{1}\,c_{2}\dots c_{n}$.

 

$\alpha ^{(n)}$$\alpha ^{(n)}$ è un numero razionale perchè decimale finito, periodico di periodo $0$$0$.

Siano $\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$ numeri positivi, e $\alpha ^{(n)},\beta ^{(n)}$$\alpha ^{(n)},\beta ^{(n)}$ le loro troncate $n$$n$-esime. Posso eseguire la somma $\alpha ^{(n)}+\beta ^{(n)}$$\alpha ^{(n)}+\beta ^{(n)}$ come somma di numeri razionali.

1. Definisco la somma $\alpha +\beta$$\alpha +\beta$ (somma di due numeri positivi) come il sup dell'insieme delle somme dei troncati $n$$n$-esimi, cioè
   $$\alpha +\beta :=\sup _{n}\{\alpha ^{(n)}+\beta ^{(n)},\,n=1,2,\dots \}$$

   $$\alpha +\beta :=\sup _{n}\{\alpha ^{(n)}+\beta ^{(n)},\,n=1,2,\dots \}$$
   Siccome $\alpha ^{(n)}$$\alpha ^{(n)}$ e $\beta ^{(n)}$$\beta ^{(n)}$ sono entrambi positivi, all'aumentare di $n$$n$ il troncato $\alpha ^{(n)}+\beta ^{(n)}$$\alpha ^{(n)}+\beta ^{(n)}$ cresce e si trovano numeri sempre piu' vicini all'estremo superiore.
2. Definisco la differenza $\alpha -\beta$$\alpha -\beta$ (somma di un numero positivo e uno negativo) ponendo
   $$\alpha -\beta :=\sup\{\alpha ^{(n)}-\beta ^{(n)}-1/10^{n},\,n=1,2,\dots \}$$

   $$\alpha -\beta :=\sup\{\alpha ^{(n)}-\beta ^{(n)}-1/10^{n},\,n=1,2,\dots \}$$
   infatti $\alpha ^{(n)}-\beta ^{(n)}$$\alpha ^{(n)}-\beta ^{(n)}$ non cresce necessariamente all'aumentare di $n$$n$, per fare in modo che cresca sottraggo la quantità ${\frac {1}{10^{n}}}$${\frac {1}{10^{n}}}$, che è monotona decrescente all'aumentare di $n$$n$.
3. Definisco poi $-\alpha -\beta$$-\alpha -\beta$ (somma di due numeri negativi) ponendo
   $$-\alpha -\beta :=\sup\{-\alpha ^{(n)}-\beta ^{(n)}-2/10^{n},\,n=1,2,\dots \}$$

   $$-\alpha -\beta :=\sup\{-\alpha ^{(n)}-\beta ^{(n)}-2/10^{n},\,n=1,2,\dots \}$$

Prodotto nell'insieme R

Se $\alpha$$\alpha$ e $\beta$$\beta$ sono positivi, allora definisco il prodotto

$$\alpha \cdot \beta :=\sup\{\alpha ^{(n)}\cdot \beta ^{(n)},\,n=1,2,\dots \}.$$

$$\alpha \cdot \beta :=\sup\{\alpha ^{(n)}\cdot \beta ^{(n)},\,n=1,2,\dots \}.$$

Se $\alpha$$\alpha$ e $\beta$$\beta$ hanno segni diversi, si fa il prodotto del modulo delle parti numeriche mentre il segno si determina in base alla regola dei segni.

Divisione nell'insieme R

Sia $\alpha >0$$\alpha >0$, allora definisco $1/\alpha =\sup\{{\frac {1}{\alpha ^{(n)}+1/10^{n}}},\,n=1,2,\dots ,\}$$1/\alpha =\sup\{{\frac {1}{\alpha ^{(n)}+1/10^{n}}},\,n=1,2,\dots ,\}$. Si noti che l'insieme $\{{\frac {1}{\alpha ^{(n)}+1/10^{n}}}\}$$\{{\frac {1}{\alpha ^{(n)}+1/10^{n}}}\}$ è limitato superiormente.

Per $-\alpha$$-\alpha$ si pone: ${\frac {1}{-\alpha }}:=-{\frac {1}{\alpha }}$${\frac {1}{-\alpha }}:=-{\frac {1}{\alpha }}$ Infine per definizione, se $\beta \neq 0$$\beta \neq 0$: si pone

$$\alpha /\beta :=\alpha \cdot 1/\beta$$

$$\alpha /\beta :=\alpha \cdot 1/\beta$$

Proprietà delle quattro operazioni

Le quattro operazioni (in realtà sono due: somma e prodotto) hanno le seguenti proprietà, da cui derivano tutte le regole di calcolo.

PROPRIETÀ DELLA SOMMA:

• proprietà 0: $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$, allora $\alpha +\beta \in \mathbb {R}$$\alpha +\beta \in \mathbb {R}$.
• proprietà 1 (commutativa): $\alpha +\beta =\beta +\alpha$$\alpha +\beta =\beta +\alpha$;
• proprietà 2 (associativa): $\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in R$$\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in R$, allora $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$;
• proprietà 3: esiste un elemento neutro $0$$0$ rispetto all'operazione di somma: $0+\alpha =\alpha ,\forall \alpha \in \mathbb {R}$$0+\alpha =\alpha ,\forall \alpha \in \mathbb {R}$
• proprietà 4: accanto ad ogni numero c'è un opposto. $\forall \alpha \in \mathbb {R} ,\exists -\alpha$$\forall \alpha \in \mathbb {R} ,\exists -\alpha$ tale che $\alpha +(-\alpha )=0$$\alpha +(-\alpha )=0$.

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO:

• proprietà $0'$$0'$: $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$, $\alpha *\beta \in R$$\alpha *\beta \in R$
• proprietà $1'$$1'$: $\alpha *\beta =\beta *\alpha$$\alpha *\beta =\beta *\alpha$
• proprieta $2'$$2'$: $\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$$\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$, allora $(\alpha *\beta )*\gamma =\alpha *(\beta *\gamma )$$(\alpha *\beta )*\gamma =\alpha *(\beta *\gamma )$
• proprietà $3'$$3'$: l'elemento neutro della moltiplicazione è il numero $1$$1$: $1*\alpha =\alpha ,\forall \alpha \in \mathbb {R}$$1*\alpha =\alpha ,\forall \alpha \in \mathbb {R}$
• proprietà $4'$$4'$: $\forall \alpha \neq 0$$\forall \alpha \neq 0$, $1/\alpha *\alpha =1$$1/\alpha *\alpha =1$

Esiste una proprietà che lega le due operazioni: è la proprietà distributiva: $\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$$\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$, allora $\alpha *(\beta +\gamma )=\alpha *\beta +\alpha *\gamma$$\alpha *(\beta +\gamma )=\alpha *\beta +\alpha *\gamma$.

Proprietà dell'ordinamento

L'ordinamento ha due proprietà:

• $\alpha >\beta$$\alpha >\beta$ oppure $\beta >\alpha$$\beta >\alpha$ oppure $\beta =\alpha$$\beta =\alpha$
• se $\alpha >\beta$$\alpha >\beta$ e $\beta >\gamma$$\beta >\gamma$, allora $\alpha >\gamma$$\alpha >\gamma$ (proprietà transitiva)

L'ordinamento è legato alle operazioni dalle seguenti proprietà:

• se $\alpha >\beta$$\alpha >\beta$ allora per ogni $\gamma$$\gamma$ si ha: $\alpha +\gamma >\beta +\gamma$$\alpha +\gamma >\beta +\gamma$
• se $\alpha >\beta$$\alpha >\beta$ e $\gamma >0$$\gamma >0$, segue che $\gamma \alpha >\gamma \beta$$\gamma \alpha >\gamma \beta$

Proprietà esclusiva di R

Tutte le proprietà descritte sopra sono presenti anche nell'insieme $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, ma $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ ha un'ulteriore proprietà che lo rende unico. E' la proprietà di completezza: ogni insieme $A$$A$ limitato superiormente ammette estremo superiore.

$\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ è un campo ordinato completo, e ogni campo ordinato completo è isomorfo ad $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$.