Operazioni nell'insieme R

Somma nell'insieme R[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.4

Dato un numero , definisco la sua troncata -esima .

 

è un numero razionale perchè decimale finito, periodico di periodo .

Siano numeri positivi, e le loro troncate -esime. Posso eseguire la somma come somma di numeri razionali.

  1. Definisco la somma (somma di due numeri positivi) come il sup dell'insieme delle somme dei troncati -esimi, cioè
    Siccome e sono entrambi positivi, all'aumentare di il troncato cresce e si trovano numeri sempre piu' vicini all'estremo superiore.
  2. Definisco la differenza (somma di un numero positivo e uno negativo) ponendo
    infatti non cresce necessariamente all'aumentare di , per fare in modo che cresca sottraggo la quantità , che è monotona decrescente all'aumentare di .
  3. Definisco poi (somma di due numeri negativi) ponendo

Prodotto nell'insieme R[modifica | modifica wikitesto]

Se e sono positivi, allora definisco il prodotto

Se e hanno segni diversi, si fa il prodotto del modulo delle parti numeriche mentre il segno si determina in base alla regola dei segni.

Divisione nell'insieme R[modifica | modifica wikitesto]

Sia , allora definisco . Si noti che l'insieme è limitato superiormente.

Per si pone: Infine per definizione, se : si pone

Proprietà delle quattro operazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le quattro operazioni (in realtà sono due: somma e prodotto) hanno le seguenti proprietà, da cui derivano tutte le regole di calcolo.

PROPRIETÀ DELLA SOMMA:

  • proprietà 0: , allora .
  • proprietà 1 (commutativa): ;
  • proprietà 2 (associativa): , allora ;
  • proprietà 3: esiste un elemento neutro rispetto all'operazione di somma:
  • proprietà 4: accanto ad ogni numero c'è un opposto. tale che .

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO:

  • proprietà : ,
  • proprietà :
  • proprieta : , allora
  • proprietà : l'elemento neutro della moltiplicazione è il numero :
  • proprietà : ,

Esiste una proprietà che lega le due operazioni: è la proprietà distributiva: , allora .

Proprietà dell'ordinamento[modifica | modifica wikitesto]

L'ordinamento ha due proprietà:

  • oppure oppure
  • se e , allora (proprietà transitiva)

L'ordinamento è legato alle operazioni dalle seguenti proprietà:

  • se allora per ogni si ha:
  • se e , segue che

Proprietà esclusiva di R[modifica | modifica wikitesto]

Tutte le proprietà descritte sopra sono presenti anche nell'insieme , ma ha un'ulteriore proprietà che lo rende unico. E' la proprietà di completezza: ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore.

è un campo ordinato completo, e ogni campo ordinato completo è isomorfo ad .

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