Definizione 1.4
Dato un numero
, definisco la sua troncata
-esima
.
è un numero razionale perchè decimale finito, periodico di periodo
.
Siano
numeri positivi, e
le loro troncate
-esime. Posso eseguire la somma
come somma di numeri razionali.
- Definisco la somma
(somma di due numeri positivi) come il sup dell'insieme delle somme dei troncati
-esimi, cioè
Siccome
e
sono entrambi positivi, all'aumentare di
il troncato
cresce e si trovano numeri sempre piu' vicini all'estremo superiore.
- Definisco la differenza
(somma di un numero positivo e uno negativo) ponendo
infatti
non cresce necessariamente all'aumentare di
, per fare in modo che cresca sottraggo la quantità
, che è monotona decrescente all'aumentare di
.
- Definisco poi
(somma di due numeri negativi) ponendo
Se
e
sono positivi, allora definisco il prodotto

Se

e

hanno segni diversi, si fa il prodotto del modulo delle parti numeriche mentre il segno si determina in base alla regola dei segni.
Sia
, allora definisco
.
Si noti che l'insieme
è limitato superiormente.
Per
si pone:
Infine per definizione, se
: si pone

Le quattro operazioni (in realtà sono due: somma e prodotto) hanno le seguenti proprietà, da cui derivano tutte le regole di calcolo.
PROPRIETÀ DELLA SOMMA:
- proprietà 0:
, allora
.
- proprietà 1 (commutativa):
;
- proprietà 2 (associativa):
, allora
;
- proprietà 3: esiste un elemento neutro
rispetto all'operazione di somma: 
- proprietà 4: accanto ad ogni numero c'è un opposto.
tale che
.
PROPRIETÀ DEL PRODOTTO:
- proprietà
:
, 
- proprietà
: 
- proprieta
:
, allora 
- proprietà
: l'elemento neutro della moltiplicazione è il numero
: 
- proprietà
:
, 
Esiste una proprietà che lega le due operazioni: è la proprietà distributiva:
, allora
.
L'ordinamento ha due proprietà:
oppure
oppure 
- se
e
, allora
(proprietà transitiva)
L'ordinamento è legato alle operazioni dalle seguenti proprietà:
- se
allora per ogni
si ha: 
- se
e
, segue che 
Tutte le proprietà descritte sopra sono presenti anche nell'insieme
, ma
ha un'ulteriore proprietà che lo rende unico. E' la proprietà di completezza: ogni insieme
limitato superiormente ammette estremo superiore.
è un campo ordinato completo, e ogni campo ordinato completo è isomorfo ad
.