Insiemi numerici

I numeri naturali

L'insieme dei numeri naturali si indica con $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$ ed è definito nel modo seguente:

$$\mathbb {N} :=\{0,1,2,3,4,\dots ,n,\dots ;+,(-),*,(/);\geq \}$$

$$\mathbb {N} :=\{0,1,2,3,4,\dots ,n,\dots ;+,(-),*,(/);\geq \}$$

All'interno di questo insieme sono state definite due operazioni: la somma ($+$$+$) e il prodotto ($*$$*$), e si ha che:

• la somma di due numeri interi positivi o nulli è sempre un numero intero positivo o nullo (invece la differenza tra due interi positivi o nulli non è sempre un intero positivo o nullo, potrebbe non essere definita in $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$).

• il prodotto di due numeri interi positivi o nulli è sempre un numero intero positivo o nullo (invece il quoziente tra due interi positivi raramente è un numero intero).

I numeri interi hanno un ordinamento.

I numeri interi relativi

L'insieme dei numeri interi si indica con $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ ed è definito nel modo seguente:

$$\mathbb {Z} :=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots ,\pm n,\dots ;+,-,*,(/);\geq \}$$

$$\mathbb {Z} :=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots ,\pm n,\dots ;+,-,*,(/);\geq \}$$

Anche nell'insieme $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ il quoziente non è sempre definito. $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ è un ampliamento dell'insieme $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$.

I numeri razionali

L'insieme dei numeri razionali si indica con $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ ed è definito come segue:

$$\mathbb {Q} :=\{\pm m/n,(n,m,\in \mathbb {N} ,n\neq 0);+,-,\cdot ,/;\geq \}$$

$$\mathbb {Q} :=\{\pm m/n,(n,m,\in \mathbb {N} ,n\neq 0);+,-,\cdot ,/;\geq \}$$

Uguaglianza: Due numeri razionali, $\pm m/n$$\pm m/n$ e $\pm p/q$$\pm p/q$ sono uguali se hanno lo stesso segno e se $mq=np$$mq=np$. Non si può dividere per $0$$0$.

Ordinamento: se due numeri razionali, $m/n$$m/n$ e $p/q$$p/q$ sono positivi, $m/n>p/q$$m/n>p/q$ se e solo se $mq>np$$mq>np$

Limiti dell'insieme $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$: Nell'insieme $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$ non tutti i segmenti sono misurabili (per esempio la diagonale di un quadrato con lato $l=1$$l=1$).

Non esiste un numero razionale $p/q$$p/q$ il cui quadrato sia $2$$2$. Infatti, l'equazione $p^{2}/q^{2}=2,\,p,q,\in \mathbb {N}$$p^{2}/q^{2}=2,\,p,q,\in \mathbb {N}$ implica $p^{2}=2q^{2}$$p^{2}=2q^{2}$ e non esistono due interi legati da questa relazione.

Rappresentazione degli elementi di $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$: i numeri razionali si rappresentano come numeri decimali della forma

$$p/q=n,c_{1}\,c_{2}\dots \,c{n}\,\dots ,\qquad 0\leq c_{i}\leq 9\forall i$$

$$p/q=n,c_{1}\,c_{2}\dots \,c{n}\,\dots ,\qquad 0\leq c_{i}\leq 9\forall i$$

Sono esclusi i numeri di periodo 9 (cioè in cui $c_{i}=9$$c_{i}=9$ a partire da un certo $i$$i$).

Partendo da un numero periodico si può scrivere poi la frazione generatrice. In altre parole, c'è una corrispondenza biunivoca tra i razionali e gli allineamenti periodici che non siano di periodo $9$$9$.

I numeri reali

L'insieme dei numeri reali si indica con $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ e si può rappresentare in modi diversi. La modalità degli allineamenti decimali è la piu' intuitiva e rende facile il confronto tra numeri.

$$\mathbb {R} :=\{\pm n,c_{1}\,c_{2}\,\dots \,c_{n}\,\dots ;\,=;>;+,-,*,/\}.$$

$$\mathbb {R} :=\{\pm n,c_{1}\,c_{2}\,\dots \,c_{n}\,\dots ;\,=;>;+,-,*,/\}.$$

L'insieme $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ è l'insieme degli allineamenti decimali periodici (numeri razionali) o non periodici (numeri irrazionali); sono esclusi gli allineamenti periodici di periodo $9$$9$.

Come vedremo, l'insieme $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ ha la proprietà di completezza: un insieme limitato superiormente ammette un estremo superiore.

Uguaglianza: dati $\alpha _{1}=\pm c_{0},c_{1}\,c_{2}\,c_{3}\dots$$\alpha _{1}=\pm c_{0},c_{1}\,c_{2}\,c_{3}\dots$ e $\alpha _{2}=\pm b_{0},b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\dots$$\alpha _{2}=\pm b_{0},b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\dots$ si ha $\alpha _{1}=\alpha _{2}$$\alpha _{1}=\alpha _{2}$ se $c_{0}=b_{0}$$c_{0}=b_{0}$, $c_{1}=b_{1}$$c_{1}=b_{1}$, $\dots$$\dots$, $c_{n}=b_{n},\dots$$c_{n}=b_{n},\dots$.

Ordinamento in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$: Dati $\alpha _{1}=\pm c_{0},c_{1}\,c_{2}\,\dots \,c_{n}\,\dots$$\alpha _{1}=\pm c_{0},c_{1}\,c_{2}\,\dots \,c_{n}\,\dots$ e $\alpha _{2}=\pm b_{0},b_{1}\,b_{2}\,\dots b_{n}\dots$$\alpha _{2}=\pm b_{0},b_{1}\,b_{2}\,\dots b_{n}\dots$:

• se i due numeri hanno segno diverso, quello di segno positivo è maggiore dell'altro;
• se $\alpha _{1}$$\alpha _{1}$ e $\alpha _{2}$$\alpha _{2}$ hanno lo stesso segno allora $\alpha _{1}>\alpha _{2}$$\alpha _{1}>\alpha _{2}$ se $c_{0}>b_{0}$$c_{0}>b_{0}$, e $\alpha _{1}<\alpha _{2}$$\alpha _{1}<\alpha _{2}$ se $c_{0}<b_{0}$$c_{0}<b_{0}$;
• altrimenti, se $c_{0}=b_{0}$$c_{0}=b_{0}$, $\alpha _{1}>\alpha _{2}$$\alpha _{1}>\alpha _{2}$ se $c_{1}>b_{1}$$c_{1}>b_{1}$ e $\alpha _{2}<\alpha _{1}$$\alpha _{2}<\alpha _{1}$ se $b_{1}<c_{1}$$b_{1}<c_{1}$; $\dots$$\dots$

In forma sintetica, dati due numeri con lo stesso segno, cerco la prima cifra nell'allineamento decimale per cui i due numeri differiscono: il numero per cui tale cifra è maggiore è il più grande tra i due confrontati.

Relazione d'ordine totale: Dati due numeri $\alpha _{1}$$\alpha _{1}$ e $\alpha _{2}$$\alpha _{2}$ capita uno e uno solo dei tre seguenti fatti: $\alpha _{1}>\alpha _{2}$$\alpha _{1}>\alpha _{2}$ oppure $\alpha _{2}>\alpha _{1}$$\alpha _{2}>\alpha _{1}$ oppure $\alpha _{1}=\alpha _{2}$$\alpha _{1}=\alpha _{2}$, inoltre valgono le seguenti proprietà

• proprietà transitiva: se $\alpha _{1}\geq \alpha _{2}$$\alpha _{1}\geq \alpha _{2}$ e $\alpha _{2}\geq \alpha _{3}$$\alpha _{2}\geq \alpha _{3}$, allora $\alpha _{1}\geq \alpha _{3}$$\alpha _{1}\geq \alpha _{3}$
• proprietà antisimmetrica: se $\alpha _{1}\geq \alpha _{2}$$\alpha _{1}\geq \alpha _{2}$ e $\alpha _{2}\geq \alpha _{1}$$\alpha _{2}\geq \alpha _{1}$, allora $\alpha _{1}=\alpha _{2}$$\alpha _{1}=\alpha _{2}$

Teorema di densità dei razionali nei reali

Teorema 1.1

Fissati due numeri reali $\alpha$$\alpha$ e $\beta$$\beta$ in $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$, $\alpha \neq \beta ;\alpha <\beta$$\alpha \neq \beta ;\alpha <\beta$, allora esistono infiniti numeri razionali $\gamma$$\gamma$ tali che $\alpha <\gamma <\beta$$\alpha <\gamma <\beta$; esistono infiniti numeri irrazionali $\delta$$\delta$ tali che $\alpha <\delta <\beta$$\alpha <\delta <\beta$.

 

Dimostrazione

Per dimostrare che ci sono infiniti numeri basta dimostrare che ce n'è uno. Infatti, una volta trovato un numero razionale $\gamma$$\gamma$ compreso tra $\alpha$$\alpha$ e $\beta$$\beta$, per un ragionamento analogo esiste un numero compreso tra $\gamma$$\gamma$ e $\beta$$\beta$ che chiamo $\gamma _{1}$$\gamma _{1}$. Ripeto la stessa costruzione e trovo il numero $\gamma _{2}$$\gamma _{2}$ compreso fra $\gamma _{1}$$\gamma _{1}$ e $\beta$$\beta$. Ripetendo il procedimento ottengo che tra $\alpha$$\alpha$ e $\beta$$\beta$ ci sono infiniti numeri: $\gamma ,\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{n},\dots$$\gamma ,\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{n},\dots$. Siano

$$\alpha =a_{0},a_{1}\,a_{2}\dots a_{k}\dots a_{n}\dots$$

$$\alpha =a_{0},a_{1}\,a_{2}\dots a_{k}\dots a_{n}\dots$$

$$\beta =b_{0},b_{1}\,b_{2}\dots b_{k}\dots$$

$$\beta =b_{0},b_{1}\,b_{2}\dots b_{k}\dots$$

Costruisco prima un numero razionale compreso tra $\alpha$$\alpha$ e $\beta$$\beta$: per ipotesi $\alpha <\beta$$\alpha <\beta$: suppongo $b_{0}>a_{0}$$b_{0}>a_{0}$. Se $b_{0}>a_{0}+2$$b_{0}>a_{0}+2$, allora la prima cifra di $\gamma$$\gamma$ sarà $c_{0}=b_{0}-1$$c_{0}=b_{0}-1$. Se invece $b_{0}=a_{0}+1$$b_{0}=a_{0}+1$, allora $\gamma$$\gamma$ avrà come prima cifra $a_{0}$$a_0$ e come seconda cifra $a_{1}+1$$a_{1}+1$, pongo tutte le cifre successive uguali a 0.

Se $\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$ hanno tutte le cifre uguali fino alla $k-1$$k-1$-esima e $a_{k}\neq b_{k}$$a_{k}\neq b_{k}$, ripeto il procedimento di prima: applicato alla cifra $a_{k}$$a_k$:

• se $a_{k}<b_{k}+2$$a_{k}<b_{k}+2$ costruisco $\gamma$$\gamma$ ponendo $c_{i}=a_{i}$$c_{i}=a_{i}$ per $i=1,\dots ,k-1$$i=1,\dots ,k-1$ e $c_{k}=a_{k}+1$$c_{k}=a_{k}+1$, e le cifre successive uguali a 0.
• se $a_{k}<b_{k}+1$$a_{k}<b_{k}+1$ costruisco $\gamma$$\gamma$ ponendo $c_{i}=a_{i}$$c_{i}=a_{i}$ per $i=1,\dots ,k-1$$i=1,\dots ,k-1$, $c_{k}=b_{k}$$c_{k}=b_{k}$ e $c_{k+1}=b_{k+1}-1$$c_{k+1}=b_{k+1}-1$. e le cifre successive uguali a 0.

Per costruire numeri irrazionali cerco la prima cifra diversa da $9$$9$ in $\alpha$$\alpha$, supponiamo che sia la $k$$k$-esima: allora pongo $c_{i}=a_{i}$$c_{i}=a_{i}$ per $i=0,\dots ,k-1$$i=0,\dots ,k-1$, $c_{k}=a_{k}+1$$c_{k}=a_{k}+1$, invece di sostituire le cifre successive con 0, metto la serie non periodica $010010001\dots$$010010001\dots$. Il numero che trovo è irrazionale, è maggiore di $\alpha$$\alpha$ e minore di $\beta$$\beta$.