L'insieme dei numeri naturali si indica con
ed è definito nel modo seguente:

All'interno di questo insieme sono state definite due operazioni: la somma (

) e il prodotto (

), e si ha che:
- la somma di due numeri interi positivi o nulli è sempre un numero intero positivo o nullo (invece la differenza tra due interi positivi o nulli non è sempre un intero positivo o nullo, potrebbe non essere definita in
).
- il prodotto di due numeri interi positivi o nulli è sempre un numero intero positivo o nullo (invece il quoziente tra due interi positivi raramente è un numero intero).
I numeri interi hanno un ordinamento.
L'insieme dei numeri interi si indica con
ed è definito nel modo seguente:

Anche nell'insieme

il quoziente non è sempre definito.

è un ampliamento dell'insieme

.
L'insieme dei numeri razionali si indica con
ed è definito come segue:

Uguaglianza: Due numeri razionali,
e
sono uguali se hanno lo stesso segno e se
.
Non si può dividere per
.
Ordinamento: se due numeri razionali,
e
sono positivi,
se e solo se
Limiti dell'insieme
: Nell'insieme
non tutti i segmenti sono misurabili (per esempio la diagonale di un quadrato con lato
).
Non esiste un numero razionale
il cui quadrato sia
. Infatti, l'equazione
implica
e non esistono due interi legati da questa relazione.
Rappresentazione degli elementi di
: i numeri razionali si rappresentano come numeri decimali della forma

Sono esclusi i numeri di periodo 9 (cioè in cui

a partire da un certo

).
Partendo da un numero periodico si può scrivere poi la frazione generatrice. In altre parole, c'è una corrispondenza biunivoca tra i razionali e gli allineamenti periodici che non siano di periodo
.
L'insieme dei numeri reali si indica con
e si può rappresentare in modi diversi. La modalità degli allineamenti decimali è la piu' intuitiva e rende facile il confronto tra numeri.

L'insieme

è l'insieme degli allineamenti decimali periodici (numeri razionali) o non periodici (numeri irrazionali); sono esclusi gli allineamenti periodici di periodo

.
Come vedremo, l'insieme
ha la proprietà di completezza: un insieme limitato superiormente ammette un estremo superiore.
Uguaglianza: dati
e
si ha
se
,
,
,
.
Ordinamento in
: Dati
e
:
- se i due numeri hanno segno diverso, quello di segno positivo è maggiore dell'altro;
- se
e
hanno lo stesso segno allora
se
, e
se
;
- altrimenti, se
,
se
e
se
; 
In forma sintetica, dati due numeri con lo stesso segno, cerco la prima cifra nell'allineamento decimale per cui i due numeri differiscono: il numero per cui tale cifra è maggiore è il più grande tra i due confrontati.
Relazione d'ordine totale: Dati due numeri
e
capita uno e uno solo dei tre seguenti fatti:
oppure
oppure
, inoltre valgono le seguenti proprietà
- proprietà transitiva: se
e
, allora 
- proprietà antisimmetrica: se
e
, allora 
Teorema 1.1
Fissati due numeri reali
e
in
,
, allora esistono infiniti numeri razionali
tali che
; esistono infiniti numeri irrazionali
tali che
.
Dimostrazione
Per dimostrare che ci sono infiniti numeri basta dimostrare che ce n'è uno.
Infatti, una volta trovato un numero razionale
compreso tra
e
, per un ragionamento analogo esiste un numero compreso tra
e
che chiamo
. Ripeto la stessa costruzione e trovo il numero
compreso fra
e
. Ripetendo il procedimento ottengo che tra
e
ci sono infiniti numeri:
.
Siano


Costruisco prima un numero razionale compreso tra
e
: per ipotesi
: suppongo
. Se
, allora la prima cifra di
sarà
.
Se invece
, allora
avrà come prima cifra
e come seconda cifra
, pongo tutte le cifre successive uguali a 0.
Se
hanno tutte le cifre uguali fino alla
-esima e
, ripeto il procedimento di prima: applicato alla cifra
:
- se
costruisco
ponendo
per
e
, e le cifre successive uguali a 0.
- se
costruisco
ponendo
per
,
e
. e le cifre successive uguali a 0.
Per costruire numeri irrazionali cerco la prima cifra diversa da
in
, supponiamo che sia la
-esima: allora pongo
per
,
, invece di sostituire le cifre successive con 0, metto la serie non periodica
. Il numero che trovo è irrazionale, è maggiore di
e minore di
.