Numeri complessi scritti in forma trigonometrica

La scrittura dei numeri complessi nella forma rende complicato l'elevamento a potenza. Per elevare un numero complesso all'-esima potenza è necessaria la formula dello sviluppo del binomio (formula di Newton). Bisogna introdurre nuovi parametri per esprimere un numero complesso.

sia , allora esso può essere scritto nella forma:

Disegno il piano complesso, e in esso fisso . è la lunghezza del segmento che parte da O e arriva in .
Per sovrapporsi all'asse x il vettore rappresentativo del numero complesso deve ruotare di un angolo in senso orario, dove è tale che
L'argomento dice in che punto della circonferenza centrata nell'origine degli assi di raggio si trova il numero, mentre il modulo indica il raggio della circonferenza.
Aumentando di un multiplo di , nulla cambia.

Esercizio 2.1

Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi scritti in forma algebrica:

  1. Forma trigonometrica:
  2. Forma trigonometrica:
 

Prodotto e quoziente[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto e il quoziente di due numeri complessi scritti in forma trigonometrica sono piu' semplici. Sia . Sia , con . Allora è uguale a un numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli di e e come argomento la somma degli argomenti.

Analogamente per il quoziente si ha
Il risultato ha come modulo il quoziente dei moduli di e moltiplicato per la differenza degli argomenti. Per dimostrare la formula del prodotto e del quoziente si utilizzano le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno.

Esercizio 2.2

Dimostrare la formula del prodotto moltiplicando .

 
Dimostrazione

 

Elevamento a potenza[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.4

Dato un numero complesso , si definisce la sua potenza -esima come

 

Questa formula si ricava dalla formula del prodotto.

Radice ennesima di un numero complesso[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 2.5

Sia . Sia . Diciamo che è una radice n-esima di se .

 


Teorema 2.1

Fissato l'intero , allora ogni numero complesso ha esattamente radici distinte.

 

Per esempio nel campo reale , nel campo complesso il simbolo indica tre numeri distinti.

Dimostrazione

Cerchiamo la soluzione dell'equazione polinomiale di grado , dove è l'incognita, è fissato.

Per il teorema precedente l'uguaglianza equivale a:
Affinchè i due numeri siano uguali il modulo dev'essere uguale e gli argomenti devono differire per un multiplo di . ottengo due equazioni:
Prima equazione:
seconda equazione:
Un numero complesso non ha infinite radici, ma solo . Per chiarire sia ,
A partire da ottengo argomenti che differiscono di dai precedenti. Per trovo solo argomenti.

Si ragiona in modo analogo per un generico .

 


Esercizio 2.3

Trovare le radici terze di .

 

Nell'insieme . Nell'insieme , ha tre soluzioni.

Applico la formula.
Moltiplicando ognuno dei tre numeri per se stesso per tre volte ottengo .

 Precedente