Definizione del campo complesso

Definizione 2.1

Il campo complesso è l'insieme delle coppie ordinate con e reali, quando per tali coppie viene definita l'uguaglianza, la somma e il prodotto nel modo sotto ripotato

 

Uguaglianza: se e solo se e . Ad esempio, la coppia è diversa dalla coppia .

Somma: supponiamo di avere due numeri complessi e . Allora per definizione

Prodotto: la prima coordinata è il prodotto delle prime due coordinate dei numeri meno il prodotto delle seconde coordinate; la seconda coordinata è data dalla somma della prima coordinata per la seconda coordinata e dalla seconda per la prima.

ha le undici proprietà del campo reale.

Proprietà per la somma[modifica | modifica wikitesto]

  • proprietà 0: segue che (viene dalla definizione);
  • proprietà 1: la somma è commutativa, ;
  • proprietà 2: la somma è associativa, .
  • proprietà 3: l'elemento neutro rispetto alla somma è la coppia . Infatti ;
  • proprietà 4: segue che .

Proprietà della moltiplicazione[modifica | modifica wikitesto]

  • proprieta 0': , segue che ;
  • proprieta 1': , segue che . Infatti la prima e la seconda componente del prodotto sono simmetriche;
  • proprieta 2': , segue che ;
  • proprieta 3': se e se moltiplico , ottengo ancora ;
  • proprieta 4': se , allora c'è un numero, , tale che .

Proprietà distributiva[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni terna si ha: . Ponendo nella formula precedente

e facendo i calcoli si verifica che la proprietà è vera.

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