Introduzione

Ci occupiamo di funzioni dove e sono spazi metrici.

Vogliamo descrivere il comportamento della funzione vicino ad un certo punto.
Esempio 7.1

Sia tale che . Descriviamo il comportamento della funzione vicino a 0. Abbiamo ricavato la disuguaglianza . Se , , e quindi per il teorema del confronto .

 

E' possibile descrivere il comportamento di una funzione per che tende a un punto di accumulazione per la funzione, ma non è possibile farlo per che tende a un punto isolato, perchè vicino a tale punto la funzione non è definita.

Definizione generale di limite[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 7.1

Sia . Sia di accumulazione per . Si dice che

se e solo se

 

Nel caso e , dire che equivale a dire che i valori di sono compresi nell'intervallo . Traccio le due parallele all'asse x a quota e . Se vale la definizione di limite, fissato esiste tale che quando il grafico della funzione è delimitato orizzontalmente dalle rette e , esso sia delimitato verticalmente dalle rette e . Il grafico della funzione senza considerare il punto sta nel rettangolo che ha come base e ha come altezza .

Il limite per una funzione non sempre esiste, come mostra questo esempio.

Esempio 7.2

Presa la funzione

Il grafico di questa funzione è formato da una retta orizzontale all'altezza di per positiva e da una retta orizzontale all'altezza di per negativa. Affermo che
infatti preso un qualsiasi non c'è mai un intervallo centrato in 0 in cui i valori della funzione si avvicinano a 0 e stanno in .

 


Esempio 7.3

Considero la funzione

La funzione oscilla vicino a 0 tra e . Dalla disuguaglianza si ricava

 

Unicità del limite[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 7.1

Se esiste: , tale limite è unico.

 

La dimostrazione si basa sulla proprietà di Hausdorff degli spazi metrici. Dati due punti distinti ci sono due sfere centrate nei punti che non hanno punti in comune.

Limiti nel campo reale esteso[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo funzioni definite in uno spazio metrico qualsiasi a valori in . (Ad esempio considero un polinomio , e considero la funzione che a associa .)
Definizione 7.2

In , si dice che se e solo se

 


Esempio 7.4

Considero la funzione

Quando si avvicina a 0, diventa sempre piu' grande (si dice che ha un asintoto verticale in ). Se fisso e taglio il grafico all'altezza trovo un tale che tra e il grafico della funzione sta sopra , e quindi

 


Definizione 7.3

Sia con insieme non limitato superiormente. Si dice che se e solo se per ogni esiste un tale che per ogni appartenente ad e , segua che la distanza di da è minore di .

 

I limiti per successioni sono un caso particolare di limiti per funzioni, in cui coincide con l'insieme degli interi.

Se , se e solo se per ogni con , e quindi per ogni segue che . In questa definizione sostituisce .

Se , viene anche chiamato asintoto orizzontale.
Esempio 7.5
  1. La funzione soddisfa la condizione con . ha un asintoto orizzontale a quota : se cresce, si avvicina a .
  2. Le funzioni soddisfano la condizione . Piu' cresce, piu' diventa grande.
  3. Le funzioni e soddisfano la condizione .
  4. La funzione soddisfa la condizione . Piu' diventa piccolo piu' si avvicina a .
 

Funzioni tendenti a un limiti per eccesso o per difetto[modifica | modifica wikitesto]

Si può dire che una successione tende a un certo limite per eccesso o per difetto, cioè si possono definire e che descrivono il comportamento di quando tende a rimanendo sempre minore o sempre maggiore di . In particolare, valgono le seguenti definizioni.
Definizione 7.4

Si dice che , dove se e solo se per ogni esiste t.c. per ogni tale che si abbia . (La differenza rispetto alla definizione ordinaria è che si considerano solo i punti a sinistra di .)

Analogamente, si definisce .
 


Esempio 7.6

Considero la funzione tale che . Allora

ha due asintoti orizzontali a e

 


Osservazione 7.1

Il limite di una funzione per che tende a esiste se e solo se il limite destro e il limite sinistro sono uguali, cioè se e solo se

(naturalmente affinché il limite di esista il limite destro e sinistro devono essere ben definiti)

 
Successivo