Funzioni

Definizione di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Per definire una funzione bisogna precisare uno spazio dove la funzione è definita, uno spazio dove la funzione assume valori e una legge che a associa . La legge dev'essere univoca.

Due funzioni sono uguali quando i loro insiemi di partenza, di arrivo e le loro leggi sono uguali.

Definire una funzione equivale a dare il dominio, il codominio e la legge.
Definizione 3.1

Per immagine di una funzione , indicata con oppure , si intende l'insieme degli tali che esiste almeno un con .

 


Esempio 3.1

Considero . L'immagine di sono tutti i numeri maggiori o uguali a 0. Data invece

l'immagine è l'insieme degli che appartengono all'intervallo .

 


Definizione 3.2

Si considera il prodotto cartesiano dato dalle coppie ordinate tali che e . Il grafico di è un sottoinsieme del prodotto cartesiano definito come

 

Il piano si rappresenta come . Rappresentando nel piano i valori si ha il solito grafico della funzione . Se si considerano funzioni il prodotto cartesiano è e il grafico è una superficie, un sottoinsieme di . Il grafico di una funzione è un sottoinsieme di non rappresentabile visivamente.

Considerato esiste una sola coppia che appartiene al grafico di .

Definizione 3.3 (Definizione alternativa di funzione)

Una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano che gode della seguente proprietà: per ogni esiste un solo tale che la coppia appartiene ad .

 

Funzioni iniettive suriettive e biunivoche[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 3.4

si dice iniettiva se per ogni segue che .

 


Esempio 3.2

Ad esempio, è iniettiva. non è iniettiva, perchè per e , .

 


Definizione 3.5

si dice suriettiva quando l'immagine è uguale a tutto .

 


Esempio 3.3

non è suriettiva,

non è suriettiva, perchè ad esempio non si trova nessun nel dominio per cui .

è suriettiva, (cambia l'insieme d'arrivo rispetto alla funzione precedente).

non è iniettiva.


è sia suriettiva che iniettiva.

 


Definizione 3.6

Una funzione si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

 


Esempio 3.4

è sia iniettiva che suriettiva, quindi è biettiva.


con è biettiva.


è biettiva.

 

Funzione inversa[modifica | modifica wikitesto]

è biettiva se per ogni allora e per ogni esiste tale che . Per ogni esiste un solo tale che . Allora possiamo costruire una funzione legata alla precedente chiamata funzione inversa.


Definizione 3.7

Se è biettiva, si può definire tale che se e solo se .

 


Esempio 3.5
  1. Considero la funzione . Per fare in modo che questa funzione sia iniettiva bisogna restringere il suo dominio. Definisco quindi
    e l'inversa è
  2. Considero
 



Data la funzione se prendo un sottoinsieme contenuto in , l'immagine dell'insieme è


Esempio 3.6

Se e , allora .

 


Definizione 3.8

Se prendo , indipendentemente dall'invertibilità di , definisco la controimmagine. (il simbolo è solo una notazione)

 


potrebbe essere ridotto a un solo punto . Se il punto è nell'immagine di , esso avrà controimmagine diversa dal vuoto, ma se il punto preso non è nell'immagine, . Se la funzione è suriettiva non può essere l'insieme vuoto. Se ho una funzione costante , se , allora .

Restrizione di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Quando si parla di restrizione di una funzione , si fissa un insieme , allora . A ogni appartenente ad la funzione associa . Se non appartiene ad la funzione non è definita.

Composizione di due funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere due funzioni: e . Ad associo , ma a posso associare .


Definizione 3.9

Posso costruire una corrispondenza che a associa : essa è una funzione definita in a valori in , che si dice funzione composta di e e si indica con il simbolo .

 


Esempio 3.7

Se e , allora

 


Data invertibile, allora posso definire . Allora la funzione composta e va da in sé, è la funzione identica nello spazio . Analogamente , è la funzione identica nello spazio .

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