Resto

Si dimostra che il polinomio di Taylor, scelto in modo che abbia il valore della funzione e tutte le derivate nel punto uguali alla funzione, approssimi la funzione.

Si cerca un modo per valutare il resto.
Se il polinomio approssima la funzione, il resto è piccolo.

Esistono vari tipi di valutazione del resto.

La valutazione del resto data da Peano dà un'idea di cosa succede alla funzione per .

La valutazione del resto di Lagrange invece descrive cosa succede alla funzione in un intervallo contenente .

Esistono anche valutazioni integrali del resto.

Valutazione del resto data da Peano[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione definita in a valori in , siano e appartenenti ad .

Per ipotesi, ammette tutte le derivate fino all'ordine in .

Allora

e quindi
Questa formulazione assume rilevanza quando .

La formula del resto di Peano equivale a scrivere che

Valutazione del resto data da Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Sia derivabile in , sino all'ordine .

Allora

con compreso tra 0 e 1, quindi è compreso tra e .
La forma del resto è uguale a quella degli altri termini del polinomio di Taylor, solo che la derivata è calcolata in un punto incognito, tra e come nel teorema di Lagrange.

Va mostrato che dipende da .

Questa formula può essere utile quando si ha una buona valutazione delle derivate -esime.

Se le derivate sono tutte limitate, il resto può essere molto piccolo. Ad esempio se valuto il resto relativo alla funzione in con il polinomio centrato in le derivate sono della forma . Nell'intervallo le derivate sono tutte minore di e, quindi minori di 3. , quindi se prendo un polinomio di grado ho un'approssimazione di in tutto l'intervallo.

Derivata del polinomio di Taylor[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 10.2

Se ho il polinomio di Taylor di una funzione derivabile in arrestata all'ordine e ne calcoliamo la derivata, otteniamo il polinomio di Taylor della funzione arrestata all'ordine .

Infatti

la derivata è
semplificando ottengo
Questo è il polinomio di Taylor della funzione .
Se derivo il polinomio n volte trovo il polinomio di Taylor della derivata n-esima arrestato all'ordine 0.

 

Dimostrazione della valutazione del resto data da Peano[modifica | modifica wikitesto]

Bisogna dimostrare che

Ho una forma di indecisione .

Ho varie possibilità per calcolare il limite. Posso applicare il teorema di de l'Hospital n volte, oppure posso procedere per induzione. Dimostro la formula per induzione su . Dimostro che è vera per e per tutte le possibili funzioni, la suppongo vera per e per tutte le possibili funzioni e la dimostro per .

Occorre dimostrare che:

Per :

spezzo la frazione
Il primo addendo è il limite del rapporto incrementale, quindi il limite tende a 0 per la definizione di derivata.

Per la formula è vera.

Suppongo vera la formula per e la valuto per

Applichiamo il teorema di De l'Hospital:
La derivata del polinomio di Taylor arrestata all'ordine n è
Questo è il polinomio di Taylor per la funzione arrestata all'ordine .
Applico l'ipotesi di induzione alla funzione e ottengo che il limite tende a 0.
L'espressione è stata supposta vera per tutte le funzioni, e quindi anche per .

Dimostrazione della valutazione del resto di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Dobbiamo dimostrare che

è un punto compreso tra e .

Dividendo per si ottiene

Consideriamo due funzioni ausiliarie:
Dobbiamo valutare il rapporto .
Osserviamo che , infatti e il polinomio di Taylor in hanno le stesse derivate sino all'ordine n, inoltre:
Infatti la derivata di un polinomio di grado n è 0. Per la funzione G si ha che , mentre la derivata -esima è .
Suppongo e valuto
(posso farlo perchè )
Allora per il teorema di Cauchy esiste compreso tra e per cui
con compreso tra e x
Ripeto il procedimento.
quindi ottengo
allora per il teorema di Cauchy esiste un numero compreso ra e per cui il rapporto scritto sopra vale
Siccome anche posso ripetere il procedimento.

Posso ripetere il procedimento fino al punto n-esimo, quando

allora esiste compreso tra e dove questa quantità è uguale al rapporto delle derivate, ma per quanto osservato prima:
così ho dimostrato la formula del resto di Lagrange.

(Ho potuto sostituire con perchè la derivata -esima di vale per ogni valore di x).

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