Approssimazione mediante polinomi

Si può approssimare una funzione mediante polinomi: piu' il grado del polinomio è alto, migliore è l'approssimazione.

Funzioni come e si possono approssimare con un polinomio di grado abbastanza piccolo, (grado ).

L'approssimazione mediante i polinomi non è l'unico tipo di approssimazione possibile, tuttavia approssimare una funzione con un polinomio è utile perchè si semplificano i calcoli. Bisogna considerare il fatto che l'approssimazione comporta una perdita.

Polinomio di Taylor[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere una funzione derivabile, definita in un intervallo . Fissiamo un punto e cerchiamo i polinomi che vicino a approssimano bene la funzione.

Prendiamo il punto .

  1. Il polinomio di grado 0 che approssima meglio la funzione è la costante
    , che ha in comune con la funzione il valore nel punto .
  2. La funzione può essere approssimata meglio con il polinomio di grado 1
    è l'equazione della retta tangente. Questo polinomio ha in comune con la funzione il valore nel punto , (infatti ) e la derivata prima . Infatti, la derivata prima in è
    Vicino a il grafico approssima meglio la funzione rispetto al polinomio di grado 0, infatti la costante si allontana subito dai valori della funzione nei punti vicini a .
  3. Si cerca di approssimare la funzione con un polinomio di secondo grado (il grafico di tale polinomio è una parabola con l'asse di simmetria parallelo all'asse y). Prendo una parabola che abbia la stessa concavità della funzione, oltre alla stessa tangente in e allo stesso valore in . Per avere la stessa concavità chiediamo che la derivata seconda di sia uguale a quella del polinomio. La derivata seconda dà informazioni su come varia la derivata prima.
    Questo polinomio di grado al più 2, ha lo stesso valore della funzione, lo stesso valore della derivata prima e della derivata seconda in , punto che abbiamo scelto a priori.Infatti
    è la derivata di un polinomio di secondo grado, quindi è una costante. Le derivate successive sono tutte uguali a 0.
  4. Il polinomio di grado al più che ha in comune con la funzione il valore di tutte le n derivate, è della forma:
    Questo è l'unico polinomio di grado al più n che ha in comune con la funzione tutte le prime n derivate nel punto e il valore nel punto .

Sia

un polinomio di grado centrato nel punto . Allora, verifichiamo che è uguale a , per .

  • Per
    Si ha che perchè tutti gli altri termini si annullano.
  • Per ,
    Si ha quindi la formula è verificata per .
  • Per
    Si ha quindi la formula è verificata per .
  • Per

Si ha

  • Per
Definizione 10.1

L'unico polinomio con le stesse prime derivate di in si chiama polinomio di Taylor relativo alla funzione di ordine centrato nel punto .

 
Il polinomio dipende da (l'ordine di derivate a cui si vuole arrivare), dipende dal punto in cui è centrato e dalla funzione.
Osservazione 10.1

Per avere derivate nel punto la funzione deve avere derivate in un intorno del punto , mentre l'-esima derivata può esistere anche solo nel punto .

Se per esempio la derivata terza esiste solo nel punto , non si possono avere le derivate successive.
 


Esempio 10.1

Se considero la funzione

Questa funzione è derivabile in 0, ma in tutti gli altri punti è discontinua e quindi non derivabile.

Se considero la funzione non si può approssimarla in tutto l'intervallo, perchè mentre la funzione va a per , il polinomio assume un valore finito in tale punto. Nell'intervallo la funzione si può approssimare.

 
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