Teoremi sulle funzioni continue

Composizione di funzioni continue[modifica | modifica wikitesto]

Per costruire una funzione composta sono necessari tre spazi metrici, .

Sia , sia , sia . Se prendo un punto in , avrò e . Chiamo .
Teorema 8.1

Se è continua in e è continua in , allora è continua in .

Di conseguenza, se è continua in tutto e è continua in tutto , allora è continua in tutto .

 
Dimostrazione

Se è isolato non c'è niente da dimostrare. Siccome per ipotesi è continua in , fisso esiste un con segue che (Questa è la definizione di continuità di nel punto ).

Allora fissata , esiste un tale che , con segue che Allora i punti con tale che appartengono all'intorno di raggio e centro e le immagini corrispondenti appartengono quindi all'intorno di raggio e centro . Quindi la funzione è continua in perchè soddisfa la definizione.

 

Teorema sulla continuità globale[modifica | modifica wikitesto]

La continuità globale si può caratterizzare con il seguente teorema.
Teorema 8.2

, è continua in tutto se e solo se per ogni aperto contenuto in si ha che è aperto in .

 


Dimostrazione

: Consideriamo un aperto entro . Per mostrare che la controimmagine di ogni aperto è un aperto devo mostrare che per ogni punto nella controimmagine esiste un intorno del punto che sta nella controimmagine.

Considero . Se , allora è aperto. Altrimenti sia . Dimostriamo che esiste un intorno di appartenente a . Poichè è aperto, esiste un tale che è tutto contenuto in . La funzione è continua in , quindi è continua anche in , allora esiste un intorno tale che ogni punto appartenente a questo intorno ha immagine nell'intorno . Infatti, se prendo i punti tali che la distanza è minore di , per la definizione di continuità segue che , quindi . Questo significa che se , tutta la sfera . Quindi è aperto.

: Dimostriamo viceversa che se la controimmagine di ogni aperto di è aperta, allora è continua in ogni punto .

Prendo i punti e .

La sfera è un aperto che contiene . Allora per ipotesi la controimmagine della sfera è un aperto che contiene . è un punto che appartiene all'aperto, questo significa che esiste una sfera tutta contenuta nell'aperto. Questa è la definizione di continuità della funzione nel punto , quindi ho dimostrato la tesi.

 
Esiste una caratterizzazione analoga per i chiusi.
Teorema 8.3

è continua in se e solo se è chiuso in per ogni chiuso entro .

 
Dimostrazione

Sia continua, allora dimostrare che è chiuso equivale a mostrare che il suo complementare è aperto. Ma , e poichè è continua ed aperto, segue che è aperto per la proposizione precedente, e quindi è chiuso. Si ragiona analogamente per mostrare l'implicazione inversa.

 

Esempi di funzioni continue[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 8.1

Le seguenti funzioni sono continue:

  1. la funzione identità ,
  2. le funzioni costanti,
  3. la somma di due funzioni continue, quindi i polinomi, che sono somme di funzioni continue,
  4. il rapporto di due polinomi, nei punti in cui il denominatore non si annulla,
  5. le funzioni , , dove è definita,
  6. le funzioni iperboliche,
  7. le funzioni elementari ,
  8. la composizione di funzioni continue.
 

Funzione a valori vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 8.4

Data una funzione , (una funzione a valori vettoriali) allora si può scrivere mediante le sue componenti canoniche: . Se , è continua in se e solo se sono continue in .

 

Relazione tra continuità e compattezza[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 8.5

Sia continua in e sia compatto. Allora l'immagine tramite di , che sta in è compatta.

 
(In forma sintetica, l'immagine di un compatto mediante continua è compatta.)
Dimostrazione

Sia , con aperti una copertura di . Siccome gli sono aperti, allora le controimmagini degli costituiscono una copertura di . Per la compattezza di , da questa copertura possiamo estrarre una sottocopertura finita di , sia essa . Allora

è coperto da , quindi ho trovato la sottocopertura finita e quindi dimostrato che l'immagine di un compatto è un compatto.

 
Se , allora l'immagine di un compatto è un compatto di , quindi è un insieme chiuso e limitato, e quindi ha massimo e minimo, in particolare vale
Teorema 8.6 (teorema di Weierstrass)

Sia , continua in , compatto, allora ammette massimo e minimo cioè esiste tale che per ogni ed esiste .

 
Se l'insieme non è compatto la funzione non ha necessariamente massimo e minimo.
Esempio 8.3
  • Data la funzione tale che essa non ha né massimo né minimo.
  • La funzione tale che ha minimo () ma non ha massimo.
  • La funzione tale che ha e , ma non esistono punti in cui la funzione assume questi valori.
 

Continuità e connessione[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 8.7

Sia . Sia continua in e connesso. Allora è connesso. (In , questo teorema significa che l'immagine tramite una funzione continua di un intervallo è un intervallo).

 
Dimostrazione

Per assurdo non sia connesso. Mostriamo allora che è connesso, contro l'ipotesi.

Per l'ipotesi assurda, non è connesso allora , con e e cioè gli insiemi sono separati. Allora considero e , che non sono vuoti. Siccome , l'unione delle controimmagini è uguale a , quindi . Dobbiamo far vedere che e sono separati, in questo modo dimostriamo che non è connesso.

è il piu' piccolo chiuso che contiene e è il piu' piccolo chiuso che contiene , quindi l'intersezione è contenuta in .

Poichè e hanno intersezione vuota per ipotesi, allora . Inoltre

dove la prima inclusione vale perché un insieme è sempre contenuto nella sua chiusura, e l'ultima uguaglianza vale perché, essendo continua, è chiuso.
Si ha quindi , allora
quindi . Si dimostra analogamente che , quindi sono separati. Allora non è connesso e questo è assurdo!

 

Per il teorema dimostrato, in l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Da questo segue

Corollario 8.1 (teorema di Darboux)

Una funzione continua in un intervallo assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e superiore.

 
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