Per costruire una funzione composta sono necessari tre spazi metrici,
.
Sia

, sia

, sia

. Se prendo un punto

in

, avrò

e

. Chiamo

.
Teorema 8.1
Se
è continua in
e
è continua in
, allora
è continua in
.
Di conseguenza, se
è continua in tutto
e
è continua in tutto
, allora
è continua in tutto
.
Dimostrazione
Se
è isolato non c'è niente da dimostrare.
Siccome per ipotesi
è continua in
, fisso
esiste un
con
segue che
(Questa è la definizione di continuità di
nel punto
).
Allora fissata
, esiste un
tale che
, con
segue che
Allora i punti
con
tale che
appartengono all'intorno di raggio
e centro
e le immagini corrispondenti
appartengono quindi all'intorno di raggio
e centro
. Quindi la funzione
è continua in
perchè soddisfa la definizione.
La continuità globale si può caratterizzare con il seguente teorema.
Teorema 8.2
, è continua in tutto
se e solo se per ogni aperto
contenuto in
si ha che
è aperto in
.
Dimostrazione
: Consideriamo un aperto
entro
. Per mostrare che la controimmagine di ogni aperto è un aperto devo mostrare che per ogni punto nella controimmagine esiste un intorno del punto che sta nella controimmagine.
Considero
. Se
, allora è aperto. Altrimenti sia
. Dimostriamo che esiste un intorno di
appartenente a
. Poichè
è aperto, esiste un
tale che
è tutto contenuto in
. La funzione
è continua in
, quindi è continua anche in
, allora esiste un intorno
tale che ogni punto appartenente a questo intorno ha immagine nell'intorno
. Infatti, se prendo i punti
tali che la distanza è minore di
, per la definizione di continuità segue che
, quindi
. Questo significa che se
, tutta la sfera
. Quindi
è aperto.
: Dimostriamo viceversa che se la controimmagine di ogni aperto
di
è aperta, allora
è continua in ogni punto
.
Prendo i punti
e
.
La sfera
è un aperto che contiene
. Allora per ipotesi la controimmagine della sfera
è un aperto che contiene
.
è un punto che appartiene all'aperto, questo significa che esiste una sfera
tutta contenuta nell'aperto. Questa è la definizione di continuità della funzione nel punto
, quindi ho dimostrato la tesi.
Esiste una caratterizzazione analoga per i chiusi.
Teorema 8.3
è continua in
se e solo se
è chiuso in
per ogni chiuso
entro
.
Dimostrazione
Sia
continua, allora dimostrare che
è chiuso equivale a mostrare che il suo complementare è aperto. Ma
, e poichè
è continua ed
aperto, segue che
è aperto per la proposizione precedente, e quindi
è chiuso.
Si ragiona analogamente per mostrare l'implicazione inversa.
Le seguenti funzioni sono continue:
- la funzione identità
,
- le funzioni costanti,
- la somma di due funzioni continue, quindi i polinomi, che sono somme di funzioni continue,
- il rapporto di due polinomi, nei punti in cui il denominatore non si annulla,
- le funzioni
,
,
dove è definita,
- le funzioni iperboliche,
- le funzioni elementari
,
- la composizione di funzioni continue.
Teorema 8.4
Data una funzione
,
(una funzione a valori vettoriali) allora
si può scrivere mediante le sue componenti canoniche:
.
Se
,
è continua in
se e solo se
sono continue in
.
Teorema 8.5
Sia
continua in
e sia
compatto.
Allora l'immagine tramite
di
, che sta in
è compatta.
(In forma sintetica, l'immagine di un compatto mediante

continua è compatta.)
Dimostrazione
Sia
, con
aperti una copertura di
. Siccome gli
sono aperti, allora le controimmagini degli
costituiscono una copertura di
.
Per la compattezza di
, da questa copertura possiamo estrarre una sottocopertura finita di
, sia essa
. Allora



è coperto da

, quindi ho trovato la sottocopertura finita e quindi dimostrato che l'immagine di un compatto è un compatto.
Se

, allora l'immagine di un compatto è un compatto di

, quindi

è un insieme chiuso e limitato, e quindi ha massimo e minimo, in particolare vale
Teorema 8.6 (teorema di Weierstrass)
Sia
,
continua in
,
compatto, allora
ammette massimo e minimo cioè esiste
tale che
per ogni
ed esiste
.
Se l'insieme

non è compatto la funzione

non ha necessariamente massimo e minimo.
Esempio 8.3
- Data la funzione
tale che
essa non ha né massimo né minimo.
- La funzione
tale che
ha minimo (
) ma non ha massimo.
- La funzione
tale che
ha
e
, ma non esistono punti in cui la funzione assume questi valori.
Teorema 8.7
Sia
. Sia
continua in
e
connesso.
Allora
è connesso.
(In
, questo teorema significa che l'immagine tramite una funzione continua di un intervallo è un intervallo).
Dimostrazione
Per assurdo
non sia connesso. Mostriamo allora che
è connesso, contro l'ipotesi.
Per l'ipotesi assurda,
non è connesso allora
, con
e
e
cioè gli insiemi sono separati.
Allora considero
e
, che non sono vuoti. Siccome
, l'unione delle controimmagini è uguale a
, quindi
. Dobbiamo far vedere che
e
sono separati, in questo modo dimostriamo che
non è connesso.
è il piu' piccolo chiuso che contiene
e
è il piu' piccolo chiuso che contiene
, quindi l'intersezione
è contenuta in
.
Poichè
e
hanno intersezione vuota per ipotesi, allora
. Inoltre

dove la prima inclusione vale perché un insieme è sempre contenuto nella sua chiusura, e l'ultima uguaglianza vale perché, essendo

continua,

è chiuso.
Si ha quindi

, allora

quindi

. Si dimostra analogamente che

, quindi

sono separati.
Allora

non è connesso e questo è assurdo!
Per il teorema dimostrato, in
l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Da questo segue
Corollario 8.1 (teorema di Darboux)
Una funzione continua in un intervallo assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore e superiore.