Continuità uniforme

Mostreremo che se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato si può tracciarne un grafico per punti e la approssimazione è buona, pur di considerare ascisse vicine.

Definizione ed esempi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 8.3

Sia , con e spazi metrici. La funzione è uniformemente continua su se tale che per ogni coppia di punti con segue che .

 
La differenza con la definizione di continuità sta nel fatto che non dipende da , ma dipende solo da .
Osservazione 8.2

Se una funzione è uniformemente continua su un insieme allora è anche continua.

 
Esempio 8.4

Le seguenti funzioni continue non sono uniformemente continue sugli insiemi in questione.

  • Prendo la funzione:
    Questa funzione è continua per ogni nell'intervallo , ma non è uniformemente continua, infatti posso trovare due punti vicini in cui i valori della funzione differiscono per . La funzione vale 1 quando e quindi quando . Quando aumenta, il punto si avvicina a 0. La funzione vale in .
    La differenza tra questi due punti con lo stesso è
    Quando diventa grande la differenza tende a 0. Ci sono quindi punti vicini quanto si vuole ma per cui la differenza delle immagini è . Fissato non esiste quindi un che soddisfa la definizione di continuità uniforme.
  • Considero la funzione
    Quando , e fissato si possono trovare due punti vicini quanto si vuole tali per cui la differenza delle immagini sia maggiore di .
    Invece la funzione è uniformemente continua.
  • La funzione
    non è uniformemente continua su .
    La funzione cresce sempre piu' rapidamente. Prendo i punti e , .
    Anche per piccolo e quindi per due punti vicini la differenza è grande, infatti piu' diventa grande piu' la differenza tra le funzioni cresce.
    Invece se mi limito a un intervallo la funzione è uniformemente continua.
 

Teorema di Cantor-Heine[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 8.8

Sia una funzione continua su un compatto . Allora è uniformemente continua in .

 

(Se non è compatto non possiamo dire niente sulla continuità uniforme).

Dimostrazione

Procedo per assurdo e nego la tesi. Supponiamo che non sia uniformemente continua. Questo significa che si può trovare un tale che esistono due punti che distano per meno di , ma le cui immagini distano per piu' di .

Fisso allora trovo due punti e tali che , ma

  • Fisso . Trovo due punti tali che ma
  • Fisso . Trovo due punti tali che ma

Ho costruito due successioni: e che verificano la condizione che tende a 0 ma la distanza tra le immagini è "grande".

è una successione in un compatto. Quindi esiste una sottosuccessione convergente, quando in .

Sappiamo che , perchè e sono sottosuccessioni di quelle costruite, e se tende a la distanza tende a 0. Allora anche converge a , infatti:

Per la disuguaglianza triangolare
Poiché la funzione è continua implica che e implica , quindi il secondo membro della disuguaglianza tende a 0, infatti e . Questo è assurdo, perchè dovrebbe mantenersi maggiore di .

 

Funzioni invertibili[modifica | modifica wikitesto]

I grafici delle funzioni invertibili sono simmetrici di quelli delle funzioni di partenza rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Quasi sempre, se una funzione è continua, anche l'inversa è continua. Questo avviene se l'insieme dove è definita la funzione è un intervallo o se l'insieme è compatto.
Osservazione 8.3

Supponiamo di avere una funzione ( è un intervallo), che soddisfa le due condizioni:

  1. è continua, (allora è un intervallo).
  2. è invertibile (quindi è biunivoca).

Allora segue che è monotona.

 
Dimostrazione

Supponiamo che non sia monotona né crescente né decrescente, allora possiamo trovare tre punti in , in cui capita uno dei due seguenti fatti:

  1. ma e
  2. e

Nel primo caso, . Chiamiamo un punto nell'intersezione. Allora poichè sta nell'intervallo , esiste un punto nell'intervallo dove la funzione assume il valore , cioè e . Ma sta anche in quindi esiste tale che e .

I punti e sono diversi perchè appartengono a due intervalli diversi, ma la funzione assume il valore in entrambi. Questo è assurdo perchè per ipotesi la funzione è invertibile e quindi biunivoca.

Nel secondo caso si ragiona analogamente.

 


Osservazione 8.4

Sia una funzione monotona. Allora è continua in se e solo se è un intervallo.

 
Dimostrazione

è vera infatti è noto che se una funzione è continua, l'immagine di un intervallo è un intervallo.

Supponiamo viceversa che l'immagine di un intervallo sia un intervallo e supponiamo per assurdo che non sia continua. Siccome per ipotesi è monotona, le sue eventuali discontinuità sono di salto. Sia un punto di discontinuità per , allora, detti i limiti sinistro e destro di in , si ha che in non assume valori, e quindi che l'immagine di un intervallo non è un intervallo, assurdo.

 


Teorema 8.9 (continuità della funzione inversa)

Sia una funzione invertibile, continua, e tale che . Allora è continua.

 
Dimostrazione

Il teorema segue dalle osservazioni precedenti. è continua e invertibile, quindi è monotona. è una funzione che ha per immagine l'intervallo e quindi è continua.

 


Teorema 8.10

Sia continua, invertibile e tale che , e sia compatto. Allora è continua. (La differenza rispetto al teorema di prima è che si considera la compattezza, non la connessione)

 
Dimostrazione

Dimostro che per ogni chiuso entro , è chiuso, cioè mostro che la controimmagine di un chiuso mediante la funzione inversa è chiuso. quindi basta mostrare che è chiuso.

è un chiuso in , è compatto quindi è compatto. La funzione è continua e manda un compatto in un compatto. Allora è compatto e quindi chiuso e ho dimostrato il teorema.

 


Esempio 8.5

Esistono funzioni invertibili e continue la cui inversa non è continua, come mostra il seguente controesempio. Definiamo , definita ponendo

(Nell'intervallo La funzione riparte da 1 e sale.)

Questa funzione è biunivoca in . L'insieme di partenza non è né connesso né compatto.

L'inversa non è continua perchè c'è un salto in .
 
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