Classificazione dei punti di discontinuità

Definizione 8.4

Sia .

  • Si dice che ha un punto di discontinuità eliminabile in se esiste ma è diverso dal valore che la funzione assume in .

(Ridefinendo la funzione la discontinuità si può eliminare.)

  • Si dice che ha un punto di discontinuità di prima specie se esiste finito .
  • La discontinuità di seconda specie include tutti gli altri casi, ad esempio il limite destro o quello sinistro o entrambi non esistono, o esistono infiniti.
 


Teorema 8.11

Sia , monotona, allora può avere solo punti di discontinuità di prima specie e i punti di discontinuità sono al più un'infinità numerabile.

 


Dimostrazione

Senza perdita di generalità supponiamo monotona crescente. Nei punti isolati la funzione è continua. Dato punto di accumulazione di calcoliamo il limite destro e il limite sinistro. Per la monotonia di ,

Il limite destro e il limite sinistro esistono finiti, e nei punti in cui la funzione è discontinua i limiti sono diversi tra loro. Tra i due c'è il valore , cioè . Se la funzione è crescente gli eventuali punti di discontinuità sono contenuti in intervalli che non hanno punti comuni. A ogni punto di discontinuità posso quindi associare un razionale che sta nell'intervallo che contiene il punto; segue che gli eventuali punti di discontinuità, essendo in corrispondenza biunivoca con i razionali, sono numerabili.

 
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