Teoremi sul calcolo differenziale

Massimo e minimo relativo[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 9.2

Per il teorema di Weierstrass una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ammette sempre massimo e minimo. Se la funzione in un intervallo aperto è derivabile, nei punti in cui ha massimo o minimo relativo la derivata è nulla.

 


Definizione 9.3

Sia , si dice punto di massimo relativo se

 



Ogni punto isolato è di massimo relativo.
Esempio 9.5

Considero il grafico di una funzione in un intervallo , la funzione prima cresce e chiamo il punto in cui la funzione finisce di crescere inizia a decrescere. Il punto è di massimo relativo, perchè in tutti i punti vicini a la funzione assume valori minori di .

 

Se una funzione ammette un massimo assoluto, esso è anche massimo relativo.

Esiste un'analoga definizione per il minimo relativo.
Definizione 9.4

Un punto è di minimo relativo quando in un opportuno intorno del punto i valori che la funzione assume sono maggiori o uguali di .

 

Se una funzione è derivabile in un aperto, in un punto di massimo o minimo relativo la derivata è uguale a 0.

Teorema di Fermat[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 9.4 (teorema di Fermat)

Sia da un intervallo aperto a valori in , e sia derivabile in tutti i punti di . Sia un punto di massimo o minimo relativo. Allora .

 
Dimostrazione

Sia punto di massimo relativo per , e calcoliamo il rapporto incrementale:

Studio il segno del rapporto per . Il numeratore è negativo, perchè è maggiore di , essendo punto di massimo.

Quindi

analogamente
Affinché una funzione sia derivabile il limite destro e sinistro del rapporto incrementale devono coincidere, quindi i limiti destro e sinistro devono essere entrambi uguali a 0.

 


Osservazione 9.3 (commento al teorema)

L'ipotesi che la funzione sia derivabile in è essenziale. E' anche necessario che esistano limite destro e limite sinistro, questo non avviene negli estremi di un intervallo chiuso. Il teorema di Fermat non è applicabile nei seguenti esempi:

  1. Data la funzione nell'intervallo , la derivata in non è uguale a 0. La derivata destra è 1, quella sinistra non esiste.
  2. Data la funzione definita su la funzione non ha massimo relativo, ma ha minimo assoluto , li' la derivata non è uguale a 0: non si può applicare il teorema di Fermat, perchè non è un punto di derivabilità per la funzione.
 

Teorema di Rolle[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione di questo teorema richiede il teorema di Weierstrass e l'osservazione di Fermat.
Teorema 9.5 (Teorema di Rolle)

Sia definita in un intervallo chiuso e limitato a valori in , (). Nelle ipotesi seguenti

  1. continua in
  2. derivabile in
  3. (agli estremi la funzione assume gli stessi valori)

Segue che esiste almeno un punto entro ove .

 
Dimostrazione

L'intervallo è chiuso e limitato, quindi per il teorema di Weierstrass siccome la funzione è continua nel compatto , ammette un massimo e un minimo. Se il massimo e il minimo coincidono con gli estremi dell'intervallo, sono uguali tra loro per la terza ipotesi, allora la funzione è costante, quindi ci sono infiniti punti in cui la derivata è nulla. Se il massimo o il minimo sono interni all'intervallo, allora la derivata è nulla per il teorema di Fermat, e quindi tali punti soddisfano la tesi.

 


Osservazione 9.4 (essenzialità delle ipotesi del teorema di Rolle)

Se una delle tre ipotesi del teorema di Rolle cade, il teorema è falso.

  1. Se la terza ipotesi non vale, e quindi se , il teorema è falso, infatti si consideri ad esempio la funzione:
    Essa è derivabile nell'intervallo , è continua nel compatto ma la sua derivata nei punti dell'intervallo è sempre .
  2. Se non vale la prima ipotesi, e quindi se ha un punto di discontinuità nell'intervallo , il teorema è falso. Ad esempio considero la funzione
    La funzione assume gli stessi valori agli estremi dell'intervallo, è derivabile in tutti i punti interni all'intervallo ma la derivata è sempre uguale a 1.
  3. Supponiamo che sia continua, che ma che non valga la terza ipotesi. Supponiamo quindi che la funzione non sia derivabile in un punto dell'intervallo, allora il teorema è falso, basta considerare come controesempio
    La funzione è continua, assume gli stessi valori agli estremi ma non è derivabile in , e non ha punti in cui la derivata è nulla.
 


Osservazione 9.5 (interpretazione geometrica del teorema di Rolle)

Da un punto di vista geometrico il teorema di Rolle si può enunciare nel seguente modo: considero una funzione in un intervallo , con , allora la corda che congiunge i punti e è una retta orizzontale ed esiste un punto in cui la retta tangente al grafico è parallela alla corda (questo equivale a dire che perchè la retta tangente ha coefficiente angolare 0).

 

Teorema di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

In particolare considero il caso in cui e le altre ipotesi del teorema di Rolle sono soddisfatte. Come afferma il teorema di Lagrange, se , allora esiste un punto dove la retta tangente al grafico della funzione è parallela alla corda passante per e , ma, a differenza del teorema di Rolle, la corda e la retta non sono orizzontali.

Infatti la retta che passa per il punto e ha come coefficiente angolare

Il teorema dice che esiste un punto in cui la retta tangente al diagramma è parallela alla corda, quindi esiste un punto c in cui .

Se si ottiene l'enunciato del teorema di Rolle.


Teorema 9.6 (Teorema di Lagrange)

Sia , continua in , derivabile in aperto, allora

 
Dimostrazione

Ci si riporta tramite una funzione ausiliaria al teorema di Rolle. Considero l'equazione della retta passante per , e

Al secondo membro ho un polinomio di primo grado.
Definisco la funzione tale che
Osservo che questa funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle:

  1. , infatti, considerando l'espressione di si ha
  2. La funzione è continua su , perchè è somma di funzioni continue.
  3. è derivabile su perchè è somma di funzioni derivabili.

Allora per il teorema di Rolle, esiste un punto in cui .

Applico le regole di derivazione per calcolare .

Quindi

 

Il teorema di Rolle è un caso particolare del teorema di Lagrange.

Teorema di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 9.7 (teorema di Cauchy)
Supponiamo di avere due funzioni e definite su un intervallo chiuso e limitato a valori in . Siano e continue in , siano e derivabili in , e (per il teorema di Rolle l'ultima ipotesi implica che ). Allora segue che esiste un entro tale che
 

In forma sintetica: Il rapporto degli incrementi delle due funzioni nell'intervallo è uguale al rapporto delle derivate in un punto opportuno.

Questo teorema comprende anche quello di Lagrange (se pongo ) e quello di Rolle (se pongo e ).
Dimostrazione

Per dimostrare il teorema considero la funzione ausiliaria

  1. è continua essendo differenza di funzioni continue;
  2. è derivabile essendo differenza di funzioni derivabili moltiplicate per una costante;
  3. .

allora per il teorema di Rolle esiste un punto in cui . Calcolo la derivata di :

e ricavo la tesi ponendo .

 
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