Regole di derivazione

Derivata di somma e prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 9.1

Siano , funzioni da a valori in e derivabili entrambe nello stesso punto . Allora

  1. , anche è derivabile in e si ha (derivata di una costante)
  2. anche è derivabile in e si ha
  3. anche è derivabile in e si ha
    (la derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate!)
  4. Se anche è derivabile in e si ha
 
Dimostrazione

Per dimostrare queste formule si applica la definizione e si usa il fatto che una funzione derivabile in un punto è anche continua nello stesso punto. Dimostriamo in particolare la formula della derivata del prodotto.

Aggiungo e tolgo .
Spezzo in due la frazione.
raccolgo nella seconda frazione che diventa:
nella prima frazione raccolgo e la frazione diventa:
Il limite della somma è la somma dei limiti.
è continua in e tende a 0.

 

La regola sulle derivate del quoziente permette di derivare direttamente la tangente, che è il rapporto tra seno e coseno.

Derivazione della funzione composta[modifica | modifica wikitesto]

Sia e . Allora si può costruire la funzione , per definizione.
Teorema 9.2

Sia derivabile in . Sia . Sia la sua derivata. Sia derivabile in . Sia la derivata. Tesi: Allora è derivabile in e vale la seguente formula

 
Dimostrazione

Uso ripetutamente la definizione di derivata. Scrivo il limite del rapporto incrementale di

Aggiungo e tolgo nell'argomento di .
Chiamo .
Sfrutto il fatto che è derivabile in e scrivo il suo rapporto incrementale (l'incremento è ).
Se è derivabile nel punto , allora è anche continua, quindi
Poichè è derivabile e quindi continua nel punto , tende a quando tende a 0.
è la differenza tra il rapporto incrementale e la derivata. Sostituisco con la sua espressione.
quando Confrontando con l'espressione sopra ottengo:
Sostituisco a k la sua espressione
dividiamo portando dentro , e facendo il limite per .

Per quanto detto si ottiene:
 

Derivata della funzione inversa[modifica | modifica wikitesto]

Idea intuitiva: Se il grafico di una funzione invertibile ammette tangente, anche la funzione inversa ammette tangente in quel punto. Scambiando gli assi si scambiano tangente e cotangente. Quindi la derivata della funzione inversa è l'inversa della derivata della funzione.
Teorema 9.3

Sia da un intervallo aperto a un intervallo . Se è invertibile e è derivabile in con , allora è derivabile in e si ha .

 

Una volta dimostrata la derivabilità della funzione inversa, la formula si ottiene anche dal teorema di derivazione delle funzioni composte.

Tabella sulle derivate[modifica | modifica wikitesto]

commenti
se , è costante e
caso particolare della formula precedente
caso particolare della formula precedente
si ricava dalla formula della derivata del quoziente
si ricava dalla formula della derivata dell'inversa

Ricavo la derivata dell'arcotangente:

Siccome si ha , quingi ottengo che

Esempio 9.4 (derivata della funzione composta)

Sia

Applico piu' volte la formula di derivazione della funzione composta. Prima derivo il logaritmo, poi ottengo ancora una funzione composta e derivo la radice. quella che ottengo è ancora una funzione composta e derivo l'arcotangente.

 
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