Prime definizioni

Derivata di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Ci occuperemo del calcolo differenziale per funzioni definite in sottoinsiemi di a valori in .

Supponiamo di avere una funzione (può anche capitare che ). Prendo un punto . Se incremento di il punto , il punto sta ancora in . Calcolo l'incremento della funzione dal punto al punto . L'incremento della funzione è uguale alla differenza . Definisco rapporto incrementale il rapporto tra l'incremento della variabile indipendente e l'incremento della variabile dipendente:

Questo rapporto rappresenta il coefficiente angolare della retta secante al grafico della funzione e passante per i punti e

Calcolo il limite del rapporto incrementale:

Se questo limite esiste finito allora si indica con , o , o o , o e si chiama derivata della funzione nel punto . Il limite può essere anche scritto come
Basta porre

Calcolo della derivata di x^alpha[modifica | modifica wikitesto]

Prendo la funzione tale che .

Scrivo il limite del rapporto incrementale:

Raccolgo :
Si può applicare il limite notevole , quindi
Ho ricavato che

Calcolo della derivata di sin x[modifica | modifica wikitesto]

Sia tale che , e considero il rapporto incrementale:

Applico la formula di addizione
Raccolgo al numeratore:
Spezzo il limite in due addendi:
Osservo che
quindi il limite del rapporto incrementale è .

Relazione tra derivabilità e continuità[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 9.1 (esempio di funzione non derivabile)

Sia tale che . Questa funzione è continua ma nel punto la derivata non c'è.

Il limite del rapporto incrementale destro vale , il limite sinistro è , quindi non esiste il limite del rapporto incrementale. Affinchè ci sia la derivata il limite del rapporto incrementale destro e sinistro devono essere uguali. La funzione considerata ha un punto angoloso in .

 
Se una funzione è derivabile in un punto , allora è anche continua.
Osservazione 9.1

Se è derivabile in , allora è continua in . (non vale il viceversa, come mostra l'esempio precedente è continua ma non derivabile in )

 
Dimostrazione

Se è derivabile significa che

Quindi ottengo che
dove la quantità tende a 0 quando tende a 0.

Moltiplico ambo i membri per

Per , il secondo membro tende a 0.
Anche , da cui:
quindi per definizione la funzione è continua in

 

Tangente geometrica[modifica | modifica wikitesto]

Il rapporto incrementale ha un significato geometrico molto preciso, è la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla corda passante per i due punti con l'asse delle ascisse.

Facciamo tendere a 0, allora l'angolo cambia al variare di . Se la funzione è derivabile la tangente trigonometrica ha un valore limite, e di conseguenza anche l'angolo.
Definizione 9.1

Sia una funzione derivabile in . Si dice retta tangente al grafico nel punto la retta di equazione

(Questa è l'equazione di una retta passante per il punto . In particolare tra tutte le rette del fascio passante per scelgo quella che ha coefficiente angolare ).

 

Se la funzione non è derivabile in un punto non ha la retta tangente in quel punto.

Il secondo membro dell'espressione è il polinomio di grado 1 che approssima meglio la funzione.

Infatti, se considero la differenza se divido per , il tutto tende a 0 quando (dimostrazione ). Quindi quello che c'è al numeratore si annulla piu' rapidamente di .

Il polinomio di primo grado è l'unico ad avere questa proprietà.
Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Dimostriamo che il limite tende a 0.

Il primo addendo è il rapporto incrementale con Quindi il limite è uguale a 0, perchè il primo addendo tende alla derivata.

 


Dimostrazione (dimostrazione $\circ$)

Dimostriamo l'unicità del polinomio di primo grado con la proprietà descritta sopra. Supponiamo di avere un polinomio di primo grado della forma tale che

e mostriamo che e , in modo da ottenere il polinomio . Il limite si riscrive come
Allora , altrimenti il limite del primo addendo sarebbe infinito. In questo modo invece, quando , il primo membro tende alla derivata, quindi affinchè il limite tenda a 0, dev'essere anche .

 

Tra tutte le rette passanti per il punto la retta tangente è quella che approssima meglio la funzione nel senso precisato.

Limite del rapporto incrementale infinito[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 9.2

Sia data la funzione

La funzione è discontinua in . Il limite del rapporto incrementale esiste ed è .

 
Ci sono funzioni con limite del rapporto incrementale infinito ma continue, come mostra il seguente esempio.
Esempio 9.3

Considero la funzione

( non è definita per x negativo.) Per negativo le radici di indici dispari sono le radici del modulo dell'argomento con il segno . Questa funzione arriva nell'origine con limite sinistro e limite destro . Ancora la retta verticale si dice tangente al grafico.

 


Definizione 9.2

Quando il limite del rapporto incrementale destro e sinistro sono diversi ed esistono finiti, allora

si chiama derivata destra e si indica con , e analogamente
si definisce derivata sinistra e si indica con .
Il punto in cui i due limiti sono diversi si dice punto angoloso.

 

Si definisce punto angoloso anche un punto in cui la funzione è continua, una semitangente è finita e l'altra infinita.

Si dice invece che c'è un punto di cuspide se una semitangente è e l'altra .

Facendo riferimento all'esempio precedente, è una funzione con punto di cuspide.

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