Ricerca del duale

Duale algebrico e topologico[modifica | modifica wikitesto]

Se è uno spazio vettoriale su , è l'insieme delle lineari ed è chiamato duale algebrico. Se ha una topologia , si chiama duale topologico l'insieme di tutte le forme lineari e continue, quindi a priori .
Esempio 3.1

Il duale di è stesso. Prendo base canonica, e . Considero i valori , e , allora:

allora per linearità
Quindi preso un funzionale lineare , ad esso posso associare il vettore che compare nel prodotto scalare , e vale viceversa, per questo può essere identificato con .

 

Risultati sui funzionali[modifica | modifica wikitesto]

Considero di Hilbert e lineare, allora .
Proposizione 3.1

Sono equivalenti le seguenti condizioni

  1. è continua
  2. è continua in qualche punto
  3. è continua in 0
  4. esiste una costante positiva tale che per ogni .
 


Dimostrazione

: è continua in 0, inoltre : per definizione di continuità, dato l'intorno , allora esiste tale che se , allora . Considero qualunque, allora il vettore ha norma 1, quindi si ha

e per definizione deve valere quindi
cioè
quindi è la costante cercata.
: per linearità
e se , , cioè è continua.
: ovviamente, se è continua, allora è continua in qualche punto.
: esercizio

 

Norma sul duale[modifica | modifica wikitesto]

Lemma 3.1

Posto per che varia nella bolla unitaria chiusa con lineare e continua, allora è una norma.

 


Dimostrazione
  1. Se , e quindi la norma è nulla. Viceversa, se il sup è nullo, tutti gli sono nulli e quindi è nulla.
  2. omogeneità:
  3. disuguaglianza triangolare:
 
Il duale topologico è uno spazio normato (di Banach).
Esercizio 3.1

Considero la norma introdotta sul duale, tale che, data l'applicazione lineare

Dimostrare che le seguenti sono scritture equivalenti di questa norma:

  1. (non considero i punti nella bolla unitaria ma solo quelli sulla frontiera)
 
Dimostrazione

Mostro prima che le scritture 1 e 2 sono equivalenti tra loro. Osservo che è uno scalare, quindi per l'omogeneità di . Allora, partendo dalla scrittura 2

ma i vettori della forma hanno norma 1, quindi proseguendo con le uguaglianze:
Si dimostra che la scrittura 1 è equivalente alla norma. Cioè assume il suo sup sulla frontiera della bolla.

 

Dall'esercizio, e in particolare dal fatto che segue che, per ogni , vale sempre

allora

Teorema di Riesz[modifica | modifica wikitesto]

Questo teorema fornisce una caratterizzazione del duale.
Teorema 3.1

Se è uno spazio di Hilbert,

  1. fissato , la funzione tale che è un funzionale lineare e continuo, e
  2. viceversa, se , esiste uno ed un unico vettore che rappresenta , cioè tale che , e .
 
Dimostrazione
  1. fisso e pongo come nell'enunciato, e osservo che, dati ,
    e si dimostra facilmente anche l'omogeneità, allora è lineare.Osservo poi che
    per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, quindi, dividendo per che è non nulla:
    e siccome questo vale per ogni , passando al sup si ha:
    e per l'esercizio precedente, il primo membro è uguale a .Allora, avendo norma finita ed essendo lineare, è continua.
    allora esiste un punto che realizza l'uguaglianza nel punto , , quindi posso scrivere e l'uguaglianza è realizzata per .
  2. Viceversa, se è l'operatore che vale sempre 0, non c'è niente da dimostrare, allora suppongo . Considero
    Sappiamo che :#*è un sottospazio vettoriale#*è un chiuso (è la controimmagine di mediante la funzione continua )#*è diverso dall'intero (infatti non è nullo)Per queste tre condizioni, non è denso (), allora il suo ortogonale non siriduce al solo 0, e deve esistere . , e se pongo , allora anche , e (normalizzazione del vettore ).Per ogni , considerando il vettore , si ha
    allora appartiene a , e siccome , il prodotto tra i due vettori dev'essere nullo:
    e dividendo per :
    allora rappresenta , e , cioè esiste con la proprietà cercata.Supponiamo che non sia unico, e quindi che esista tale che , allora , e quindi, per ,
    e quindi , cioè è unico.
 

Riassumendo, esiste un funzionale che è isometria lineare iniettiva e suriettiva. infatti, a nel duale, si può associare l'unico che lo rappresenta, e tale che .

Successivo