Definizione 1.1
è uno spazio vettoriale su
se esistono le due seguenti operazioni:
- la somma che ad ogni coppia
di elementi di
associa la somma
. La somma ha queste proprietà#*è associativa, cioè
per ogni
;#*è commutativa, cioè
#*esiste l'elemento neutro
tale che
per ogni
.#*esiste l'opposto
tale che
.In particolare, l'elemento opposto, se esiste, è unico.Dim. Supponiamo che esistano due opposti,
e
con
, tali che
e
. Allora, per l'esistenza dell'elemento neutro:
ma
, quindi
e per associatività e per commutatività
perché
, quindi
e l'elemento opposto è unico.
- il prodotto scalare
tale che alla coppia
viene associato ilvettore
. Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:#*
#*
#*
#*proprietà distributive:
e
.
Esempio 1.1
Esempi di spazi vettoriali reali sono lo stesso
e lo spazio
che è l'insieme dei vettori della forma
dove gli
sono numeri reali. Uno spazio vettoriale sui complessi è
insieme delle n-uple
con
.
Se
e
sono vettori in
, la somma si fa componente per componente ed è il vettore
.
Se

è uno scalare,

.
Esempio 1.2
Sull'intervallo
, posso considerare lo spazio vettoriale
![{\displaystyle X=\{f\colon [0,1]\to \mathbb {R} \,{\hbox{ continue}}\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4642d01d84dc82300d5f9d3cac9a55ab1bf15cc4)
Date due funzioni

, la funzione somma calcolata in un generico punto

in
![[0,1]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
è data da

.
Dato uno scalare

,

.
Queste operazioni sono ben definite perché la somma di funzioni continue è ancora continua e lo stesso vale per il prodotto per uno scalare.
In
si può definire il prodotto scalare: è un'operazione
tale che

Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:
- è bilineare, infatti dati tre vettori
e uno scalare
, valgono le proprietà:

da cui segue la linearità nella prima componente, e lo stesso è vero per la seconda componente.
- è commutativo, cioè
.
- Il prodotto scalare di un vettore
per se stesso è sempre positivo ed è nullo se e solo se
.
Proposizione 1.1
Il prodotto scalare verifica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: per ogni
,

dove

Dimostrazione
Dato
e due vettori
, considero la combinazione lineare
e faccio il prodotto scalare di questo vettore per se stesso:

per le proprietà del prodotto scalare.
Sviluppo il prodotto usando le proprietà di bilinearità:

e per la commutatività del prodotto scalare:

per ogni

. L'espressione è un trinomio in

quindi è positiva se

.

quindi

e prendendo la radice quadrata:

