Spazi vettoriali

Definizione ed esempi

Definizione 1.1

$X'$$X'$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ se esistono le due seguenti operazioni:

1. la somma che ad ogni coppia $(x,y)$$(x,y)$ di elementi di $X$$X$ associa la somma $x+y$$x+y$. La somma ha queste proprietà#*è associativa, cioè
   $$(x+y)+z=x+(y+z)$$

   $$(x+y)+z=x+(y+z)$$
   per ogni $x,y,z\in X$$x,y,z\in X$;#*è commutativa, cioè
   $$x+y=y+x,\,\forall x,y\in X$$

   $$x+y=y+x,\,\forall x,y\in X$$
   #*esiste l'elemento neutro $0$$0$ tale che $0+x=x$$0+x=x$ per ogni $x\in X$$x \in X$.#*esiste l'opposto $x'$$x'$ tale che $x+x'=0$$x+x'=0$.In particolare, l'elemento opposto, se esiste, è unico.Dim. Supponiamo che esistano due opposti, $x'$$x'$ e $x''$$x''$ con $x'\neq x''$$x'\neq x''$, tali che $x+x'=0$$x+x'=0$ e $x+x''=0$$x+x''=0$. Allora, per l'esistenza dell'elemento neutro:
   $$x'=x'+0$$

   $$x'=x'+0$$
   ma $0=x+x''$$0=x+x''$, quindi
   $$x'=x'+(x+x'')$$

   $$x'=x'+(x+x'')$$
   e per associatività e per commutatività
   $$x'=(x'+x)+x''=x''$$

   $$x'=(x'+x)+x''=x''$$
   perché $x+x'=0$$x+x'=0$, quindi $x'=x''$$x'=x''$ e l'elemento opposto è unico.
2. il prodotto scalare$\cdot \colon X\times \mathbb {R} \to X$$\cdot \colon X\times \mathbb {R} \to X$ tale che alla coppia $(x,\alpha )$$(x,\alpha )$ viene associato ilvettore $\alpha \cdot x$$\alpha \cdot x$. Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:#*$1*x=x$$1*x=x$#*$0*x=0$$0*x=0$#*$\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$$\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$#*proprietà distributive: $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$$\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$ e $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$$(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$.

 

Esempio 1.1

Esempi di spazi vettoriali reali sono lo stesso $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ e lo spazio $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ che è l'insieme dei vettori della forma $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$$(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ dove gli $x_{i}$$x_i$ sono numeri reali. Uno spazio vettoriale sui complessi è $\mathbb {C} ^{n}$$\mathbb {C} ^{n}$ insieme delle n-uple $(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})$$(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})$ con $z_{i}\in \mathbb {C}$$z_{i}\in \mathbb {C}$. Se $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$$x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ e $y=(y_{1},\dots ,y_{n})$$y=(y_{1},\dots ,y_{n})$ sono vettori in $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$, la somma si fa componente per componente ed è il vettore $(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n})$$(x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n})$.

Se $\alpha$$\alpha$ è uno scalare, $\alpha *x=(\alpha x_{1},\dots ,\alpha x_{n})$$\alpha *x=(\alpha x_{1},\dots ,\alpha x_{n})$.

 

Esempio 1.2

Sull'intervallo $[0,1]$$[0,1]$, posso considerare lo spazio vettoriale

$$X=\{f\colon [0,1]\to \mathbb {R} \,{\hbox{ continue}}\}$$

$$X=\{f\colon [0,1]\to \mathbb {R} \,{\hbox{ continue}}\}$$

Date due funzioni $f,g\in X$$f,g\in X$, la funzione somma calcolata in un generico punto $x$$x$ in $[0,1]$$[0,1]$ è data da $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.
Dato uno scalare $\alpha$$\alpha$, $(\alpha f)(x)=\alpha f(x)$$(\alpha f)(x)=\alpha f(x)$.
Queste operazioni sono ben definite perché la somma di funzioni continue è ancora continua e lo stesso vale per il prodotto per uno scalare.

 

Il prodotto scalare

In $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ si può definire il prodotto scalare: è un'operazione $\cdot \colon X\times X\to \mathbb {R}$$\cdot \colon X\times X\to \mathbb {R}$ tale che

$$(x,y)\mapsto \langle x,y\rangle =x\cdot y=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots +x_{n}y_{n}.$$

$$(x,y)\mapsto \langle x,y\rangle =x\cdot y=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots +x_{n}y_{n}.$$

Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:

• è bilineare, infatti dati tre vettori $x,y,z$$x,y,z$ e uno scalare $\alpha \in \mathbb {R}$$\alpha \in \mathbb {R}$, valgono le proprietà:
  $$(x+z)\cdot y=x\cdot y+z\cdot y$$

  $$(x+z)\cdot y=x\cdot y+z\cdot y$$
  $$(\alpha x)\cdot y=\alpha (x\cdot y)$$

  $$(\alpha x)\cdot y=\alpha (x\cdot y)$$
  da cui segue la linearità nella prima componente, e lo stesso è vero per la seconda componente.

• è commutativo, cioè $x\cdot y=y\cdot x$$x\cdot y=y\cdot x$.
• Il prodotto scalare di un vettore $x\in \mathbb {R} ^{n}$$x\in \mathbb {R} ^{n}$ per se stesso è sempre positivo ed è nullo se e solo se $x=0$$x=0$.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Proposizione 1.1

Il prodotto scalare verifica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: per ogni $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$$x,y\in \mathbb {R} ^{n}$,

$$|x\cdot y|\leq |x|*|y|$$

$$|x\cdot y|\leq |x|*|y|$$

dove

$$|x|={\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}.$$

$$|x|={\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}.$$

 

Dimostrazione

Dato $t\in \mathbb {R}$$t\in \mathbb {R}$ e due vettori $x,y$$x,y$, considero la combinazione lineare $x+ty$$x+ty$ e faccio il prodotto scalare di questo vettore per se stesso:

$$(x+ty)\cdot (x+ty)\geq 0$$

$$(x+ty)\cdot (x+ty)\geq 0$$

per le proprietà del prodotto scalare.
Sviluppo il prodotto usando le proprietà di bilinearità:

$$x\cdot x+t*x\cdot y+t*y\cdot x+t^{2}*y\cdot y\geq 0$$

$$x\cdot x+t*x\cdot y+t*y\cdot x+t^{2}*y\cdot y\geq 0$$

e per la commutatività del prodotto scalare:

$$\sum _{i}x_{i}^{2}+2t*\sum _{i}x_{i}y_{i}+t^{2}*\sum _{i}y_{i}^{2}\geq 0$$

$$\sum _{i}x_{i}^{2}+2t*\sum _{i}x_{i}y_{i}+t^{2}*\sum _{i}y_{i}^{2}\geq 0$$

per ogni $t\in \mathbb {R}$$t\in \mathbb {R}$. L'espressione è un trinomio in $t$$t$ quindi è positiva se $\Delta \leq 0,\,\forall t$$\Delta \leq 0,\,\forall t$.

$$\Delta =4*(\sum _{i}x_{i}y_{i})^{2}-4*\sum _{i}y_{i}^{2}*\sum _{i}x_{i}^{2}\leq 0$$

$$\Delta =4*(\sum _{i}x_{i}y_{i})^{2}-4*\sum _{i}y_{i}^{2}*\sum _{i}x_{i}^{2}\leq 0$$

quindi

$$(\sum _{i}x_{i}y_{i})^{2}\leq \sum _{i}x_{i}^{2}*\sum _{i}y_{i}^{2}$$

$$(\sum _{i}x_{i}y_{i})^{2}\leq \sum _{i}x_{i}^{2}*\sum _{i}y_{i}^{2}$$

e prendendo la radice quadrata:

$$|\sum _{i}x_{i}y_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}*{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}.$$

$$|\sum _{i}x_{i}y_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}*{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}.$$

$$|x\cdot y|\leq |x|*|y|$$

$$|x\cdot y|\leq |x|*|y|$$