Spazi metrici

Definizione di metrica

Definizione 1.2

Sia $Y$$Y$ un insieme non vuoto, una metrica $d$$d$ su $Y$$Y$ è una funzione $d\colon Y\times Y\to \mathbb {R} ^{+}$$d\colon Y\times Y\to \mathbb {R} ^{+}$ che ad ogni coppia di elementi $(x,y)\in Y$$(x,y)\in Y$ associa il numero reale positivo $d(x,y)$$d(x,y)$ tale che:

1. $d(x,y)=d(y,x)$$d(x,y)=d(y,x)$ (simmetria)
2. $d(x,y)=0$$d(x,y)=0$ se e solo se $x=y$$x=y$
3. dati tre punti $x,y,z$$x,y,z$, $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (disuguaglianza triangolare)

 

Definizione 1.3

Dato uno spazio metrico, la bolla centrata in $x$$x$ di raggio $r$$r$ è data da

$$B(x,r)=\{y\in Y\,t.c.\,d(x,y)<r\}$$

$$B(x,r)=\{y\in Y\,t.c.\,d(x,y)<r\}$$

 

Definizione 1.4

Data una successione di punti $\{x_{n}\}\in Y$$\{x_{n}\}\in Y$, la successione tende a $x$$x$ se per ogni $r$$r$ positivo esiste $n_{0}$$n_{0}$ tale che per $n>n_{0}$$n>n_{0}$, $x_{n}\in B(x,r)$$x_{n}\in B(x,r)$.

 

La metrica permette di definire la convergenza.

Esempio 1.3

Dati $x,y$$x,y$ vettori in $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$, se pongo

$$d(x,y)={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$$

$$d(x,y)={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$$

ottengo la metrica euclidea di $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$.
$d$$d$ soddisfa le proprietà della metrica, perché è simmetrica, è nulla solo se i punti coincidono, e applicando Cauchy-Schwarz si può dimostrare la disuguaglianza triangolare.

 

Norma

Definizione 1.5

Una norma su uno spazio vettoriale reale $X$$X$ è una funzione che a $x$$x$ associa $\|x\|\geq 0$$\|x\|\geq 0$ tale che

1. $\|x\|=0$$\|x\|=0$ se e solo se $x=0$$x=0$
2. $\|\alpha x\|=|\alpha |*\|x\|$$\|\alpha x\|=|\alpha |*\|x\|$ (omogeneità)
3. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (subadditività)

 

Relazione tra metriche e norme

Data una norma si ha automaticamente una metrica, ma non è sempre vero il viceversa.

Proposizione 1.2

Data una norma, si ottiene una metrica ponendo

$$d(x,y)=\|x-y\|.$$

$$d(x,y)=\|x-y\|.$$

 

Dimostrazione

Dimostro che $d$$d$ tale che $d(x,y)=\|x-y\|$$d(x,y)=\|x-y\|$ soddisfa le proprietà delle distanze.

1. Vale la simmetria infatti
   $$d(x,y)=\|x-y\|=\|-(y-x)\|=\|y-x\|=d(y,x)$$

   $$d(x,y)=\|x-y\|=\|-(y-x)\|=\|y-x\|=d(y,x)$$
   dove $\|-(y-x)\|=\|y-x\|$$\|-(y-x)\|=\|y-x\|$ deriva dalla proprietà $\|\alpha x\|=|\alpha |*\|x\|$$\|\alpha x\|=|\alpha |*\|x\|$ con $\alpha =-1$$\alpha =-1$.
2. $$d(x,y)=\|y-x\|=0$$

   $$d(x,y)=\|y-x\|=0$$
   se e solo se $y=x$$y=x$.
3. Vale la disuguaglianza triangolare infatti
   $$d(x,y)=\|x-y\|=\|x-z+z-y\|$$

   $$d(x,y)=\|x-y\|=\|x-z+z-y\|$$
   e per la subadditività della norma
   $$\leq \|x-z\|+\|z-y\|$$

   $$\leq \|x-z\|+\|z-y\|$$
   $$=d(x,z)+d(z,y)$$

   $$=d(x,z)+d(z,y)$$

 

Esempio 1.4

Dato $x\in \mathbb {R} ^{n}$$x\in \mathbb {R} ^{n}$, la norma euclidea si definisce come

$$d(x,O)={\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}={\sqrt {x\cdot x}}.$$

$$d(x,O)={\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}={\sqrt {x\cdot x}}.$$

Quindi si può dimostrare la disuguaglianza triangolare per $d$$d$ in termini di norme, e vale che

$$\|x-y\|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$$

$$\|x-y\|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$$

per Cauchy-Schwarz.

 

Esempio 1.5

Esistono metriche che non inducono nessuna norma. Ad esempio, dato $X\neq \emptyset$$X\neq \emptyset$, definisco la metrica discreta tale che

$$d(x,y)={\begin{cases}1&\iff x\neq y\\0&\iff x=y\end{cases}}$$

$$d(x,y)={\begin{cases}1&\iff x\neq y\\0&\iff x=y\end{cases}}$$

Con questa metrica, le successioni che tendono a $x\in X$$x \in X$ sono quelle definitivamente costanti e uguali a $x$$x$. Questa metrica non induce nessuna norma (non vale l'omogeneità).