Spazi metrici

Definizione di metrica[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.2

Sia un insieme non vuoto, una metrica su è una funzione che ad ogni coppia di elementi associa il numero reale positivo tale che:

  1. (simmetria)
  2. se e solo se
  3. dati tre punti , (disuguaglianza triangolare)
 


Definizione 1.3

Dato uno spazio metrico, la bolla centrata in di raggio è data da

 


Definizione 1.4

Data una successione di punti , la successione tende a se per ogni positivo esiste tale che per , .

 
La metrica permette di definire la convergenza.
Esempio 1.3

Dati vettori in , se pongo

ottengo la metrica euclidea di .
soddisfa le proprietà della metrica, perché è simmetrica, è nulla solo se i punti coincidono, e applicando Cauchy-Schwarz si può dimostrare la disuguaglianza triangolare.

 

Norma[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.5

Una norma su uno spazio vettoriale reale è una funzione che a associa tale che

  1. se e solo se
  2. (omogeneità)
  3. (subadditività)
 

Relazione tra metriche e norme[modifica | modifica wikitesto]

Data una norma si ha automaticamente una metrica, ma non è sempre vero il viceversa.
Proposizione 1.2

Data una norma, si ottiene una metrica ponendo

 
Dimostrazione

Dimostro che tale che soddisfa le proprietà delle distanze.

  1. Vale la simmetria infatti
    dove deriva dalla proprietà con .
  2. se e solo se .
  3. Vale la disuguaglianza triangolare infatti
    e per la subadditività della norma
 


Esempio 1.4

Dato , la norma euclidea si definisce come

Quindi si può dimostrare la disuguaglianza triangolare per in termini di norme, e vale che
per Cauchy-Schwarz.

 


Esempio 1.5

Esistono metriche che non inducono nessuna norma. Ad esempio, dato , definisco la metrica discreta tale che

Con questa metrica, le successioni che tendono a sono quelle definitivamente costanti e uguali a . Questa metrica non induce nessuna norma (non vale l'omogeneità).

 
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