Definizione 1.2
Sia
un insieme non vuoto, una metrica
su
è una funzione
che ad ogni coppia di elementi
associa il numero reale positivo
tale che:
(simmetria)
se e solo se 
- dati tre punti
,
(disuguaglianza triangolare)
Definizione 1.3
Dato uno spazio metrico, la bolla centrata in
di raggio
è data da

Definizione 1.4
Data una successione di punti
, la successione tende a
se per ogni
positivo esiste
tale che per
,
.
La metrica permette di definire la convergenza.
Esempio 1.3
Dati
vettori in
, se pongo

ottengo la metrica euclidea di

.

soddisfa le proprietà della metrica, perché è simmetrica, è nulla solo se i punti coincidono, e applicando Cauchy-Schwarz si può dimostrare la disuguaglianza triangolare.
Definizione 1.5
Una norma su uno spazio vettoriale reale
è una funzione che a
associa
tale che
se e solo se 
(omogeneità)
(subadditività)
Data una norma si ha automaticamente una metrica, ma non è sempre vero il viceversa.
Proposizione 1.2
Data una norma, si ottiene una metrica ponendo

Dimostrazione
Dimostro che
tale che
soddisfa le proprietà delle distanze.
- Vale la simmetria infatti

dove
deriva dalla proprietà
con
.

se e solo se
.
- Vale la disuguaglianza triangolare infatti

e per la subadditività della norma

Esempio 1.4
Dato
, la norma euclidea si definisce come

Quindi si può dimostrare la disuguaglianza triangolare per

in termini di norme, e vale che

per Cauchy-Schwarz.
Esempio 1.5
Esistono metriche che non inducono nessuna norma. Ad esempio, dato
, definisco la metrica discreta tale che

Con questa metrica, le successioni che tendono a

sono quelle definitivamente costanti e uguali a

.
Questa metrica non induce nessuna norma (non vale l'omogeneità).