Spazi di dimensione infinita ricalcati sulle norme p

Spazi l^p[modifica | modifica wikitesto]

Suppongo di avere una successione di numeri reali o complessi. Introduco la norma

Mostro che lo spazio
con la norma è uno spazio vettoriale, cioè mostro che la somma e il prodotto di due suoi elementi sta ancora nello spazio.

Date due successioni , considero la somma , e mostro che se è finita e è finita, allora anche è finita.

Se mostro che la norma è effettivamente una norma, vale la disuguaglianza triangolare e quindi anche l'asserto da dimostrare.
Proposizione 1.3

[disuguaglianza triangolare per la norma ] Si ha che

 
Dimostrazione

Per ogni naturale vale la disuguaglianza di Minkowski:

e passando al limite per , al secondo membro applico il teorema per cui il limite della somma è la somma del limiti se i limiti esistono finiti, e ottengo il risultato cercato.

 

Segue che gli spazi sono effettivamente spazi vettoriali.

Alcuni spazi l^p[modifica | modifica wikitesto]

In particolare, lo spazio è l'insieme delle successioni tale che sia finito. Lo spazio è l'insieme delle successioni tali che

e si ha che
Se sono coniugati e , allora .
Verificando che questa è una norma. si ha che è lo spazio delle successioni limitate.

Questi sono spazi vettoriali normati completi (di Banach). Inoltre ha in particolare la caratteristica che la norma 2 induce un prodotto scalare.
Proposizione 1.4

Gli spazi sono di dimensione infinita.

 


Dimostrazione

La dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una base qualsiasi. Se fisso , e considero le potenze , ottengo l'insieme dei polinomi di grado al più e questo non basta a coprire tutto lo spazio delle funzioni continue.

 

La base canonica di questo spazio è data da

Prendendo un numero finito di , genero solo uno spazio di successioni che sono identicamente nulle a partire dall'indice .
Infatti, ogni vettore che si scrive come combinazione lineare degli ha coordinate nulle da in poi. La successione sta in ma non è definitivamente nulla, quindi non si può scrivere come combinazione lineare di vettori.

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