Spazi L^p

Generalizzo gli spazi a spazi .

Teoria astratta dell'integrazione[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 1.11

In astratto, dato un insieme non vuoto , una -algebra di sottoinsiemi di , è una funzione definita su a valori in tale che

se quando .

 


Definizione 1.12

si dice misurabile se per ogni aperto di .

 

Lo spazio è l'insieme delle funzioni tali che è misurabile e

è un caso particolare di spazio se è la misura del conteggio e . In questo caso è lo spazio delle successioni -sommabili.

Norme p[modifica | modifica wikitesto]

Data , si chiede che

sia una norma.

  1. se l'integrale vale 0, non posso concludere che la funzione è nulla, ma solo che è quasi ovunque nulla (cioè esiste di misura 0 e tale che per ogni , ).
  2. se , allora .
  3. se sono misurabili, allora
    e questa proprietà si dimostra facendo lo stesso percorso fatto per la disuguaglianza di Minkowski in .
Per dimostrare la forma integrale della disuguaglianza di Minkowski, si ha che Young per i numeri reali implica Hoelder in forma integrale, che con gli stessi conti implica Minkowski in forma integrale.
Proposizione 1.5 (disuguaglianza di Hoelder in forma integrale)

Se sono misurabili, allora

con .

 
Dimostrazione

IPOTESI PRELIMINARE: , allora dimostro che

Fissato , svolgono il ruolo di nella disuguaglianza di Young. Per monotonia dell'integrale:
e per omogeneità dell'integrale si può eliminare l'ipotesi preliminare.
cvd

 

Questa disuguaglianza vale anche se una delle due norme è infinita.

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