Per fare in modo che le "norme
" siano norme a tutti gli effetti negli spazi
, sostituisco le funzioni con le loro classi di equivalenza rispetto alla relazione
tale che
se
sono uguali quasi ovunque.
Se
, allora
sno diverse sull'insieme
di misura nulla, allora, per ogni
si deve avere
.
PASSO 1: Mostro che
è una relazione di equivalenza.
Dimostrazione
è riflessiva, infatti
con
.
è simmetrica, infatti se
, allora
su
, ma si ha anche
su
cioè
.
è transitiva, cioè mostro che se
e
, allora
.Se
allora
. Se
, allora
, con
e
.
e verifico che il complementare di quest'intersezione ha misura nulla:
per le leggi di complementazione, e
.
Si può ora definire
![{\displaystyle L^{p}=\{[f]_{R},\,t.c.\,f{\hbox{ è misurabile}},\,\wedge \,\int |f|^{p},{\hbox{è finito}}\}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b46c5281d4c8fbef5f0d48c7a3779730aafda3a7)
Su questo spazio definisco la somma:
![{\displaystyle [f]_{R}+[g]_{R}=[f+g]_{R}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2ba74b1f5b7a46f31cf9865771c8801715d5d914)
PASSO 2:
Verifico che la somma è ben definita e non dipende dalla scelta del rappresentante nella classe di equivalenza.
Dimostrazione
Date
e
mostro che
, cioè che
.



e come prima

.
Definisco poi il prodotto per uno scalare
![{\displaystyle [\alpha *f]=\alpha *[f]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/330068aa751a364c33892acf9f0269e31e372e37)
e se

, ovviamente

.
Allora
con la somma e il prodotto definiti è uno spazio vettoriale.
Definisco la norma:
![{\displaystyle \|[f]\|=\|f\|_{p}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/bdb44a67292ff5db5f39fbb5f45bf9dfbddf899c)
PASSO 3:
Mostro che la norma è ben definita, e non dipende dal rappresentante scelto in ![{\displaystyle [f]_{R}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/93ccea3279d796d0d1a659c94b62e5815a166e4c)
.
Dimostrazione
Mostro che

Divido

in

e

, e non riscrivo l'integrale sull'insieme

di misura nulla che fa 0, quindi rimane da dimostrare:

e questo è vero perché su


coincidono.
Ora è soddisfatta anche la prima proprietà della norma che mancava negli spazi
:
![{\displaystyle \|f\|_{p}=0\iff [f]_{R}=[0]_{R}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/7c2d682cf5f7564475f1d9e7ae529d848fa242b5)
Infatti

e questo è vero se e solo se l'integranda è quasi ovunque nulla, e quindi se

.
Le altre proprietà continuano a valere.
Per brevità si scrive

ma in realtà questo è lo spazio delle classi di equivalenza.
Teorema 1.4
Se
e
è una misura positiva,
è completo per la norma
.
Per la dimostrazione servono alcuni preliminari.
Considero una successione
a valori reali. Fisso un intero
e pongo
allora
. Pongo
. Analogamente si pone

La successione ammette limite se e solo se il liminf e il limsup coincidono.
Prendendo tutte le sottosuccessioni convergenti della successione di partenza, se calcolo l'inf di questi limiti ottengo l'inf della successione di partenza.
Il liminf di una successione di funzioni
è la funzione definita puntualmente come
.
Lemma (di Fatou)
Data una successione di funzioni misurabili positive
con
misurabili, allora

Proposizione 1.6 (estrazione di una sottosuccessione)
Sia
di Cauchy in
, cioè tale che per ogni
esiste
tale che per ogni coppia di indici
segue che

Allora esiste una sottosuccessione

estratta dalla successione di partenza tale che, per ogni

,

Dimostrazione
Pongo
. Allora esiste un indice
tale che per ogni
, allora

Scelgo

come primo elemento della sottosuccessione.
Per
ripeto il procedimento: esiste
tale che per ogni 

Posso scegliere

senza perdita di generalità, perché

verifica sicuramente la condizione vera per

, che è più debole.
Come secondo elemento della sottosuccessione considero quindi

.
Gli elementi che sto scegliendo verificano la proprietà, perché per

si ha:

(e questo è vero perché

e per

,

.)
Proseguo e pongo
. Allora esiste
tale che per ogni 

e pongo

.
Per induzione costruisco la sottosuccessione che verifica la proprietà.
Dimostrazione (dimostrazione della completezza)
Data una successione di Cauchy
, per ogni k, chiamo

dove le

sono gli elementi della sottosuccessione scelta prima.
Osservo che per Minkowski, avendo una somma finita

(ho una parte della sommatoria della serie geometrica di ragione

.)
quindi
sta in 
.
Definisco poi

Applico il lemma di Fatou:

per la formula 1, quindi
ho mostrato che 
perché ha integrale finito.
Anche l'integranda

dev'essere finita quasi ovunque.
Pongo

la serie è assolutamente convergente quasi ovunque, e pongo

dove la serie non converge assolutamente (è un insieme di misura nulla).
Ho una serie telescopica, quindi

Allora

può essere considerato come limite della successione estratta.
Applico nuovamente Fatou a

. Per come sono state definite le

, per ogni

esiste

tale che per ogni


Fisso

. Applico Fatou sapendo che

.

Allora

, allora
anche 
, infatti

ed è somma di funzioni di

.
Rimane da mostrare che

ma per

, ho già dimostrato

Quindi
la successione converge al limite puntuale di
che sta in
per quanto dimostrato prima, e ogni successione di Cauchy converge.
Se
è unna successione di Cauchy in
, allora esiste
che è limite puntuale di una sottosuccessione di
.
In generale devo considerare sottosuccessioni, e non posso affermare che tutta la successione converge puntualmente al limite.
Ci sono due tipi di convergenza.
Non è vero che una successione di Cauchy converge puntualmente al limite della successione in

, come mostra il seguente esempio.
Esempio 1.6
Su
, definisco questa successione di funzioni:

![{\displaystyle f_{2,1}={\begin{cases}1&\iff x\in [0,1/2]\\0&\iff x\in [1/2,1]\end{cases}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/7f05701646cdc942cb73829a4820a250a63a47b4)
![{\displaystyle f_{2,2}={\begin{cases}0&\iff x\in [0,1/2]\\1&\iff x\in [1/2,1]\end{cases}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/96a80f9eeb9d20c33918e4e4f8a0d0ae4972124a)
Al passo successivo suddivido l'intervallo in quattro:
![{\displaystyle f_{4,1}={\begin{cases}1&\iff x\in [0,1/4]\\0&\iff x\in [1/4,1]\end{cases}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/c4f75ec12c89797ade809152eb17609e16c6ce65)
![{\displaystyle f_{4,2}={\begin{cases}1&\iff x\in [1/4,2/4]\\0&\iff x\in [0,1/4]\vee x\in [2/4,1]\end{cases}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/dc25f68f6a5af56ac81d0c8b42351e3b8069081a)
![{\displaystyle f_{4,3}={\begin{cases}1&\iff x\in [2/4,3/4]\\0&\iff x\in [0,2/4]\vee x\in [3/4,1]\end{cases}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/18ce1952989a91c3e78b091aa692e4148c8a028f)
![{\displaystyle f_{4,4}={\begin{cases}1&\iff x\in [3/4,1]\\0&\iff x\in [0,3/4]\end{cases}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/fa138abfa389008a7af6ec57889a689bd16726dc)
Poi divido in ottavi e ripeto il procedimento. Il picco delle funzioni si sposta lungo l'intervallo, e diminuisce ogni volta che le suddivisioni dell'intervallo aumentano.
Si ha che

in
![{\displaystyle L^{1}([0,1])}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/625838673c09047316c6cd3606a0e6d5ffc8a5c6)
, cioè

infatti, se

tale che
![[0,1]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
è fatto da intervalli di ampiezza

a quel passo, si ha che l'integrale è l'area del picco, cioè

ma per

, l'integrale va a 0.
Questa successione però non converge puntualmente, infatti, per

fissato

vale alternatamente 0 e 1 e non converge, infatti al crescere di

,

si può trovare sopra o sotto il picco.
Però posso prendere una sottosuccessione, che converge puntualmente alla funzione nulla.
Considero la sottosuccessione
pr ogni
, cioè prendo solo le funzioni in cui il picco si trova all'inizio, cioè la successione della prima funzione che definisco dopo ogni suddivisione.
Se prendo
positiva, il picco definitivamente si sposta a sinistra
e quindi
converge alla funzione nulla puntualmente.
Chiamo


è l'insieme delle funzioni essenzialmente limitate.
Pongo

e dimostro che

è un minimo, cioè che

.
Per mostrare che
quasi ovunque mostro che

ha misura nulla.
Per ogni

, definisco

e questo insieme ha misura nulla.

allora

perché è unione di insiemi di misura nulla.
Quindi

è un minimo e

quasi ovunque.
Mostro che
è una norma:
quasi ovunque se e solo se
, perché posso eliminare l'insieme di misura nulla in cui
non è nulla.

- se prendo due funzioni essenzialmente limitate deve valere la disuguaglianza triangolare. Quasi ovunque

Quindi
è uno spazio normato e si può dimostrare che è completo.
La disuguaglianza di Hoelder si estende al caso
,
. La disuguaglianza di Hoelder dice che se
, allora
