Proiezione ortogonale

Proprietà utili[modifica | modifica wikitesto]

Osservazione 2.1

Il prodotto scalare è uniformemente continuo, e la funzione che associa a un vettore la sua norma è uniformemente continua.

 
Dimostrazione

Mostro la continuità nella prima componente, cioè, se , allora . Per linearità del prodotto scalare

per la disuguaglianza di cauchy-schwarz.

Quando , , quindi .

Per lo stesso motivo, se allora , cioè vale la continuità nella seconda componente.

Inoltre , infatti, aggiungendo e togliendo :

e per la continuità nella seconda componente , mentre , quindi il tutto tende a 0.
Ora mostro la continuità della norma:
quindi
e scambiando i ruoli di e :
quindi, per le formule 1 e 2
e quindi la norma è uniformemente continua.

 

Relazioni sul complemento ortogonale[modifica | modifica wikitesto]

Considero lo spazio con un prodotto scalare, e .

  1. Se , allora .Dim. Un elemento che sta in ha prodotto ortogonale nullo con ogni vettore di , e quindi anche con quelli di e sta in .
  2. .Dim. Siccome , allora vale l'inclusione per il punto precedente.Per dimostrare l'altra inclusione prendo .
    e sappiamo che perché . Per la continuità del prodotto scalare
    cioè e vale la doppia inclusione.
  3. per ogni sottoinsieme , vale l'inclusione .Dim. Dato , mostro che , ma questo è vero perché, siccome , ha prodotto scalare nullo con ogni vettore di .
  4. L'ortogonale di ogni sottoinsieme è un sottospazio lineare chiuso.Dim. Considero la successione tale che , allora segue che
    quindi e lo spazio è chiuso.Dati , anche la somma è contenuta in , infatti, per la linearità del prodotto scalare:
    quindi è lineare.

Proiezione ortogonale[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di Hilbert e un sottospazio lineare chiuso. Per ogni , esiste un punto di minima distanza di da , che indico con , e si ha

e inoltre per la linearità di , .

Proprietà della proiezione P_M[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 2.7

Se è di Hilbert e è un sottospazio chiuso, allora

  1. è lineare.
  2. per ogni ,
  3. (cioè è idempotente),
  4. mentre per l'immagine dello spazio totale si ha .
  5. per ogni , ( è autoaggiunto)
 
Dimostrazione
  1. Linearità: considero vettori e scalari e valuto il prodotto scalare
    e per le proprietà del prodotto scalare ottengo
    e questo è nullo perché è ortogonale a tutti i vettori di .Da questo segue che
    ma a priori sappiamo che
    quindi, per l'unicità della proiezione ortogonale, segue che , e quindi segue la linearità.
  2. riduce la norma: Per ogni vale l'uguaglianza
    e , quindi , e applicando pitagora
    quindi .
  3. è idempotente: Per , (è il punto di minima distanza di da ).
    ma quindi ha come proiezione se stesso.
  4. Caratterizzazione del nucleo:
    Supponiamo che , allora , quindi
    quindi . Viceversa, se prendo , allora e quindi , cioè , quindi .Caratterizzazione dell'immagine: Dato , allora , quindi , e vale anche viceversa.
  5. Proiezione ortogonale autoaggiunta: per ogni , perché , quindi
    Analogamente
    quindi
    e passando ai coniugati, tenendo conto che :
    e unendo le uguaglianze
 

Corollari utili[modifica | modifica wikitesto]

Corollario 2.1

Se è sottospazio lineare chiuso, allora .

 
Dimostrazione

Abbiamo già mostrato che per qualsiasi sottospazio, non necessariamente chiuso, , e dimostro l'inclusione opposta per sottospazi lineari chiusi. Prendo , allora , perché . Segue che . Siccome è autoaggiunto, si può scrivere , cioè

per ogni , e si conclude che se , , quindi , cioè e quindi .

 


Corollario 2.2

Se non necessariamente lineare e chiuso, è il più piccolo sottospazio lineare chiuso che contiene .

 
Dimostrazione

Chiamo l'insieme dei sottospazi lineari chiusi che contengono . Allora mostriamo che . è un sottospazio lineare chiuso che contiene , quindi contiene l'intersezione. Viceversa, prendo un sottospazio lineare chiuso che contiene , quindi valgono le seguenti inclusioni:

e per il corollario 1 perché è un sottospazio lineare chiuso, e questo è vero per ogni , quindi vale la doppia inclusione.

 
Per dimostrare il corollario successivo è necessario il seguente lemma:
Lemma 2.1

Considerando l'operazione di moltiplicazione per scalari, che associa alla coppia il vettore , questa è una funzione continua nelle due variabili, in altre parole, se e , allora .

 
Dimostrazione

la successione è limitata
allora il secondo membro tende a 0, quindi
cioè il prodotto per uno scalare è continuo rispetto alla topologia indotta dalla norma.

 


Definizione 2.7

Prendo , allora definisco come l'insieme delle combinazioni lineari finite di elementi di .

 


Proposizione 2.1

è il più piccolo sottospazio lineare chiuso che contiene .

 
Dimostrazione

è uno spazio lineare. Mostro che anche è un sottospazio lineare, se questo è vero la tesi è vera perché è il più piccolo chiuso che contiene il più piccolo spazio lineare che contiene .

Mostro che, se e sono scalari, allora .

Considero prima il caso particolare in cui . Allora posso scrivere e per la continuità di moltiplicazione per uno scalare:

che è una combinazione lineare di elementi di , e il liite sta in per linearità.

Nel caso generale, togliendo la restrizione, siano , allora

allora , e questa è una combinazione lineare di un elemento in e uno nella chiusura, quindi per il punto precedente il limite appartiene a .

 

Dai due corollari si ricava che .

Caratterizzazione della densità di un sottospazio[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme è denso in se e solo se .
Corollario 2.3

Sia , allora è denso se e solo se .

 
Dimostrazione

Supponiamo che sia denso, cioè , allora , cioè . Viceversa, se supponiamo che , allora è denso. Infatti, siccome il più piccolo sottospazio lineare chiuso che contiene è , per l'ultimo corollario si ha:

cioè e è denso in .

 
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