La funzione
tale che
è una funzione da
in
periodica.
Sia
la circonferenza unitaria sul campo complesso, e
.
Definisco

Definisco il prodotto scalare come

allora la norma indotta è


Considero il sistema

delle funzioni

con

e
mostro che è un sistema ortonormale per 
.
- Le funzioni del sistema
sono a due a due ortogonali. Infatti se
si ha
![{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi (n-k)}}[\sin((n-k)t)-i\cos((n-k)t)]_{0}^{2\pi }=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/27aa4b7cf71296e7010a73af51cfccc84a1a53af)
- se considero la norma di funzioni di questo tipo si ha

Si può passare dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica di un numero complesso attraverso la relazione:


quindi sommando e sottraendo le due relazioni si ha:


cioè

appartengono all'inviluppo lineare del sistema.
Definizione 5.1
La quantità
![{\displaystyle a_{0}+\sum _{k=1}^{N}[a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/e4d40f6f0df02bb9671ec9b84aacbed88e10a24a)
viene chiamata
polinomio trigonometrico, e i coefficienti

a priori stanno in

.
In forma esponenziale il polinomio trigonometrico di grado
si scrive come:

Esercizio 5.1 (relazioni di ortogonalità)
Dimostrare le relazioni di ortogonalità tra seni e coseni, in particolare dimostrare che:



Suggerimento: Ricordare che valgono le formule trigonometriche, che si ricavano esplicitando la relazione
:


ed eguagliando parte reale e immaginaria si ha:




Dimostrazione
Dimostro la prima relazione di ortogonalità:

Dalle formule precedenti si ricava:

quindi

![{\displaystyle =1/2[-1/(k+m)*\cos((k+m)x)-1/(k-m)*\cos((k-m)x)]_{0}^{2\pi }}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/0e133eb1bd4f72f59e0657905fc77bf1b7976f4f)
![{\displaystyle =1/2[-1/(k+m)*(1-1)-1/(k-m*(1-1)]=0}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2745f2622151a6057ddf4c087a0168cf53758d48)
Si fa un ragionamento analogo per le altre relazioni.