Sistema trigonometrico

La funzione $F$$F$ tale che $F(t)=e^{-it}$$F(t)=e^{-it}$ è una funzione da $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ in $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$ periodica.

Sistema ortonormale per L^2(T)

Sia $T$$T$ la circonferenza unitaria sul campo complesso, e $C(T)=\{f:T\to \mathbb {C} \,{\hbox{continue}}\}$$C(T)=\{f:T\to \mathbb {C} \,{\hbox{continue}}\}$. Definisco

$$L^{2}(T)=\{g:T\to \mathbb {C} \,{\hbox{misurabili}}t.c.\,\int _{0}^{2\pi }g(t)^{2}\,dt<\infty \}$$

$$L^{2}(T)=\{g:T\to \mathbb {C} \,{\hbox{misurabili}}t.c.\,\int _{0}^{2\pi }g(t)^{2}\,dt<\infty \}$$

Definisco il prodotto scalare come

$$f\cdot g={\frac {1}{2\pi }}*\int _{0}^{2\pi }f(t){\bar {g}}(t)\,dt$$

$$f\cdot g={\frac {1}{2\pi }}*\int _{0}^{2\pi }f(t){\bar {g}}(t)\,dt$$

allora la norma indotta è

$$\|f\|_{2}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\int _{0}^{2\pi }f(t){\bar {f}}(t)\,dt}}$$

$$\|f\|_{2}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\int _{0}^{2\pi }f(t){\bar {f}}(t)\,dt}}$$

$$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{2}\,dt}}$$

$$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{2}\,dt}}$$

Considero il sistema $\ast$$\ast$ delle funzioni $f(t)=e^{int}$$f(t)=e^{int}$ con $n\in \mathbb {Z}$$n\in \mathbb {Z}$ e mostro che è un sistema ortonormale per $L^{2}(T)$$L^{2}(T)$.

1. Le funzioni del sistema $\ast$$\ast$ sono a due a due ortogonali. Infatti se $n\neq k$$n\neq k$ si ha
   $$e^{int}\cdot e^{ikt}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(n-k)t}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos((n-k)t)+i\sin((n-k)t)\,dt$$

   $$e^{int}\cdot e^{ikt}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(n-k)t}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos((n-k)t)+i\sin((n-k)t)\,dt$$
   $$={\frac {1}{2\pi (n-k)}}[\sin((n-k)t)-i\cos((n-k)t)]_{0}^{2\pi }=0$$

   $$={\frac {1}{2\pi (n-k)}}[\sin((n-k)t)-i\cos((n-k)t)]_{0}^{2\pi }=0$$
2. se considero la norma di funzioni di questo tipo si ha
   $$\|e^{int}\|_{2}^{2}={\frac {1}{2\pi }}*\int _{0}^{2\pi }e^{int}e^{-int}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }1\,dt=1$$

   $$\|e^{int}\|_{2}^{2}={\frac {1}{2\pi }}*\int _{0}^{2\pi }e^{int}e^{-int}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }1\,dt=1$$

Osservazione 5.1

Si può passare dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica di un numero complesso attraverso la relazione:

$$e^{int}=\cos(nt)+i\sin(nt)$$

$$e^{int}=\cos(nt)+i\sin(nt)$$

$$e^{-int}=\cos(nt)-i\sin(nt)$$

$$e^{-int}=\cos(nt)-i\sin(nt)$$

quindi sommando e sottraendo le due relazioni si ha:

$$\cos(nt)={\frac {e^{int}+e^{-int}}{2}}$$

$$\cos(nt)={\frac {e^{int}+e^{-int}}{2}}$$

$$\sin(nt)={\frac {e^{int}-e^{-int}}{2i}}$$

$$\sin(nt)={\frac {e^{int}-e^{-int}}{2i}}$$

cioè $\sin(nt),\cos(nt)$$\sin(nt),\cos(nt)$ appartengono all'inviluppo lineare del sistema.

 

Definizione 5.1

La quantità

$$a_{0}+\sum _{k=1}^{N}[a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)]$$

$$a_{0}+\sum _{k=1}^{N}[a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)]$$

viene chiamata polinomio trigonometrico, e i coefficienti $a_{k},b_{k}$$a_{k},b_{k}$ a priori stanno in $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$.

In forma esponenziale il polinomio trigonometrico di grado $N$$N$ si scrive come:

$$\sum _{k}c_{k}e^{ikx},\,k\in (-N,N)$$

$$\sum _{k}c_{k}e^{ikx},\,k\in (-N,N)$$

 

Esercizio 5.1 (relazioni di ortogonalità)

Dimostrare le relazioni di ortogonalità tra seni e coseni, in particolare dimostrare che:

$$\int _{0}^{2\pi }\cos(kx)*\sin(mx)=0\forall k,m\in \mathbb {Z}$$

$$\int _{0}^{2\pi }\cos(kx)*\sin(mx)=0\forall k,m\in \mathbb {Z}$$

$$\int \cos(kx)*\cos(mx)=0\iff k\neq m$$

$$\int \cos(kx)*\cos(mx)=0\iff k\neq m$$

$$\int \sin(kx)*\sin(mx)=0\iff k\neq m.$$

$$\int \sin(kx)*\sin(mx)=0\iff k\neq m.$$

 

Suggerimento: Ricordare che valgono le formule trigonometriche, che si ricavano esplicitando la relazione $e^{ia}*e^{ib}=e^{i(a+b)}$$e^{ia}*e^{ib}=e^{i(a+b)}$:

$$e^{ia}*e^{ib}=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b)$$

$$e^{ia}*e^{ib}=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b)$$

$$e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b)$$

$$e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b)$$

ed eguagliando parte reale e immaginaria si ha:

$$\sin(a+b)=\sin a*\cos b+\cos a*\sin b$$

$$\sin(a+b)=\sin a*\cos b+\cos a*\sin b$$

$$\cos(a+b)=\cos a*\cos b-\sin a*\sin b,$$

$$\cos(a+b)=\cos a*\cos b-\sin a*\sin b,$$

$$\sin(a-b)=\sin a*\cos b-\cos a*\sin b$$

$$\sin(a-b)=\sin a*\cos b-\cos a*\sin b$$

$$\cos(a-b)=\cos a*\cos b+\sin a*\sin b,$$

$$\cos(a-b)=\cos a*\cos b+\sin a*\sin b,$$

Dimostrazione

Dimostro la prima relazione di ortogonalità:

$$\int _{0}^{2\pi }\cos(kx)*\sin(mx)\,dx=$$

$$\int _{0}^{2\pi }\cos(kx)*\sin(mx)\,dx=$$

Dalle formule precedenti si ricava:

$$\cos a\sin b=1/2(\sin(a+b)+\sin(a-b))$$

$$\cos a\sin b=1/2(\sin(a+b)+\sin(a-b))$$

quindi

$$=1/2\int _{0}^{2\pi }\sin((k+m)x)+\sin((k-m)x)\,dx=$$

$$=1/2\int _{0}^{2\pi }\sin((k+m)x)+\sin((k-m)x)\,dx=$$

$$=1/2[-1/(k+m)*\cos((k+m)x)-1/(k-m)*\cos((k-m)x)]_{0}^{2\pi }$$

$$=1/2[-1/(k+m)*\cos((k+m)x)-1/(k-m)*\cos((k-m)x)]_{0}^{2\pi }$$

$$=1/2[-1/(k+m)*(1-1)-1/(k-m*(1-1)]=0$$

$$=1/2[-1/(k+m)*(1-1)-1/(k-m*(1-1)]=0$$

Si fa un ragionamento analogo per le altre relazioni.