Convergenza uniforme

Oltre alle ipotesi precedenti, richiediamo che sia continua, e sia continua a tratti. Allora vale il seguente teorema:
Teorema 5.5

La successione delle somme parziali della serie di Fourier converge totalmente a in (e la convergenza totale implica quella uniforme).

 
Dimostrazione

Calcoliamo i coefficienti di Fourier della derivata in funzione di quelli di , che chiamo ( è continua a tratti quindi la sua serie di Fourier è ben definita):

dove questo passaggio vale perché è periodica, e si può integrare per la continuità di .
ma il termine di bordo è nullo, quindi
quindi .
Analogamente
e il primo termine vale 0, quindi .
Per Bessel, la serie
è una serie convergente.
Si ha
quindi
e siccome seno e coseno sono minori di 1:
Osservo che e , e sfrutto la disuguaglianza
Allora
quindi maggiorando i termini nella sommatoria della formula 1 si ha:
e il tutto converge perché il primo addendo è la serie di Fourier delle derivate, e il secondo è una serie convergente.

 


Osservazione 5.3

Il lemma di Riemann-Lebesgue vale anche per funzioni di (quando la misura dello spazio su cui le funzioni sono definite è finita, come in questo caso, si ha ).

Fisso e , allora esiste continua che approssima in norma , cioè tale che . Inoltre esiste un polinomio trigonometrico tale che e quindi

Quindi applicando la disuguaglianza triangolare . Il coefficiente di Fourier di è:
Se , il secondo addendo è nullo e si ha
purché .
quindi per , , cioè vale il lemma di Riemann-Lebesgue per funzioni in .

 
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