Convergenza puntuale delle serie di Fourier

Normalizzazione del sistema trigonometrico[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo funzioni in a valori reali, il prodotto scalare tra due funzioni è stato definito come

Normalizzo le funzioni del sistema trigonometrico in modo che abbiano norma 1 con questo prodotto scalare. Consideriamo ad esempio le funzioni della forma .
Osservo che
Per ottengo , e impongo che abbia norma 1: intgrando per parti calcolo
e siccome il termine di bordo è nullo si ha
e siccome , per la linearità degli integrali si ha
quindi siccome i due integrali al membro di sinistra sono uguali, ognuno di essi vale .
Si ha quindi
quindi per ottenere funzioni di norma 1 pongo , in modo che un sistema ortonormale sia dato dalle funzioni della forma e .

Coefficienti delle serie di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Studieremo funzioni della forma:

Dato uno spazio di Hilbert , un elemento e un sistema ortonormale , si ha che
dove gli sono i coefficienti della serie di Fourier di .
In questo caso, presa una funzione in e il sistema ortonormale considerato precedentemente, si ha che la serie di Fourier di è data da:

Osservo che
quindi sostituendo nella relazione 1 ottengo:
e semplificando i coefficienti
quindi definisco
in modo tale che

Convergenza puntuale delle serie di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Mi chiedo quali siano le ipotesi da imporre su per avere che converge puntualmente ad con successione delle somme parziali della serie di Fourier, cioè

Definizione 5.3

Una funzione si dice continua a tratti se è discontinua al più in un insieme finito di punti, e se in tali punti esistono il limite destro e sinistro di .

 


Definizione 5.4

Una funzione si dice regolare a tratti se è continua a tratti, e se è derivabile tranne al più in un numero finito di punti, e in tali punti esistono il limite destro e sinistro del rapporto incrementale. Definisco la derivata destra in un punto come

 


Esempio 5.1

Data la funzione modulo, essa è continua nell'origine ma non è derivabile lì, tuttavia esistono le derivate destra e sinistra nell'origine, quindi questa è una funzione regolare a tratti.

Scrivo la serie di Fourier della funzione modulo: la funzione modulo è pari, quindi tutti i sono nulli e si ha
Integro per parti:
Quindi
 


Teorema 5.4

Sia di periodo , , regolare a tratti, allora per ogni punto di continuità di e nei punti di discontinuità (converge alla semisomma del limite destro e sinistro di in ).

 
Per dimostrare il teorema è necessario questo lemma preliminare:
Lemma 5.2

Per ogni e per ogni vale l'uguaglianza:

 
Dimostrazione (dimostrazione del lemma)

La dimostrazione è per induzione: Per l'uguaglianza diventa ed è verificata. Suppongo vera l'uguaglianza per , cioè suppongo che

e la dimostro per .
Per il passo induttivo posso scrivere:
e facendo il denominatore comune:
e per le formule del seno della somma di angoli:
quindi la disuguaglianza è dimostrata.

 


Dimostrazione (dimostrazione del teorema)

Sostituendo nell'espressione di :

Scambiando integrale e sommatoria ottengo
il termine tra parentesi è il coseno della differenza:
Cambio di variabile: ,
ma per la periodicità dell'integranda posso integrare su :
applicando il lemma posso sostituire a la sua espressione:
Osservo che:
ma i termini con il coseno danno contributo nullo e l'integrale vale .
Complessivamente valgono le seguenti formule:

A questo punto verifico che converge puntualmente alla semisomma valutando la differenza:
spezzo l'integrale, e al posto di uso le formule 1 e 2:
Associo gli integrali con gli estremi in comune, e ottengo:
Chiamo
può avere dei punti di discontinuità di prima specie nei traslati dei punti della forma con punto di discontinuità di .
Studio nell'origine. Per si ha
In quest'ultima espressione, il limite per del primo addendo esiste per l'ipotesi sulla derivata e ha un valore finito, e il limite del secondo addendo vale 1 perché .
sta in perché è continua a tratti.

In questo modo posso scrivere:

e applicando la formula della somma di seni posso spezzare l'integrale:
e siccome in , anche e sono continue a tratti e stanno in .

Il primo integrale è l'n-esimo coefficiente di indice pari della serie di Fourier di , e per il teorema di Riemann-Lebesgue tende a 0 e lo stesso vale per il secondo che è il coefficiente n-esimo di indice dispari della serie di Fourier di .

 
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