Convergenza puntuale delle serie di Fourier

Normalizzazione del sistema trigonometrico

Consideriamo funzioni in $L^{2}([-\pi ,\pi ])$$L^{2}([-\pi ,\pi ])$ a valori reali, il prodotto scalare tra due funzioni è stato definito come

$$f\cdot g={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)g(t)\,dt.$$

$$f\cdot g={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)g(t)\,dt.$$

Normalizzo le funzioni del sistema trigonometrico in modo che abbiano norma 1 con questo prodotto scalare. Consideriamo ad esempio le funzioni della forma $(c*\cos(nx))_{n\in \mathbb {N} _{0}}$$(c*\cos(nx))_{n\in \mathbb {N} _{0}}$.
Osservo che

$$(\|1\|_{2})^{2}={\frac {1}{2\pi }}(\int _{-\pi }^{\pi }1\,dt)={\frac {1}{2\pi }}2\pi =1.$$

$$(\|1\|_{2})^{2}={\frac {1}{2\pi }}(\int _{-\pi }^{\pi }1\,dt)={\frac {1}{2\pi }}2\pi =1.$$

Per $n=1$$n=1$ ottengo $f_{1}=c*\cos x$$f_{1}=c*\cos x$, e impongo che abbia norma 1: intgrando per parti calcolo

$$\int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}t\,dt=[\cos t*\sin t]_{-\pi }^{\pi }+\int _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}t\,dt$$

$$\int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}t\,dt=[\cos t*\sin t]_{-\pi }^{\pi }+\int _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}t\,dt$$

e siccome il termine di bordo è nullo si ha

$$\int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}t\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}t\,dt$$

$$\int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}t\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}t\,dt$$

e siccome $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$$\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$, per la linearità degli integrali si ha

$$\int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}t\,dt+\int _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}t\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }1\,dt=2\pi$$

$$\int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}t\,dt+\int _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}t\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }1\,dt=2\pi$$

quindi siccome i due integrali al membro di sinistra sono uguali, ognuno di essi vale $\pi$$\pi$.
Si ha quindi

$$(\|c\cos t\|_{2})^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }c^{2}\cos ^{2}t\,dt={\frac {1}{2\pi }}*c^{2}\pi =c^{2}*1/2$$

$$(\|c\cos t\|_{2})^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }c^{2}\cos ^{2}t\,dt={\frac {1}{2\pi }}*c^{2}\pi =c^{2}*1/2$$

quindi per ottenere funzioni di norma 1 pongo $c={\sqrt {2}}$$c={\sqrt {2}}$, in modo che un sistema ortonormale sia dato dalle funzioni della forma $({\sqrt {2}}\cos(nt))_{n\in \mathbb {N} }$$({\sqrt {2}}\cos(nt))_{n\in \mathbb {N} }$ e $({\sqrt {2}}\sin(nt))_{n\in \mathbb {N} }$$({\sqrt {2}}\sin(nt))_{n\in \mathbb {N} }$.

Coefficienti delle serie di Fourier

Studieremo funzioni della forma:

$$\sum _{k=1}^{n}[a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)].$$

$$\sum _{k=1}^{n}[a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)].$$

Dato uno spazio di Hilbert $H$$H$, un elemento $x\in H$$x \in H$ e un sistema ortonormale $E$$E$, si ha che

$$x=\sum _{e\in H}|x\cdot e|*e.$$

$$x=\sum _{e\in H}|x\cdot e|*e.$$

dove gli $|x\cdot e|$$|x\cdot e|$ sono i coefficienti della serie di Fourier di $x$$x$.
In questo caso, presa una funzione in $L^{2}((-\pi ,\pi ))$$L^{2}((-\pi ,\pi ))$ e il sistema ortonormale considerato precedentemente, si ha che la serie di Fourier di $f$$f$ è data da:

$$f=|f\cdot 1|*1+\sum _{k=1}^{\infty }[|f\cdot {\sqrt {2}}\cos(kx)|*{\sqrt {2}}\cos(kx)+\sum _{k=1}^{\infty }|f\cdot {\sqrt {2}}\sin(kx)|*{\sqrt {2}}\sin(kx)],\,{\hbox{relazione 1}}$$

$$f=|f\cdot 1|*1+\sum _{k=1}^{\infty }[|f\cdot {\sqrt {2}}\cos(kx)|*{\sqrt {2}}\cos(kx)+\sum _{k=1}^{\infty }|f\cdot {\sqrt {2}}\sin(kx)|*{\sqrt {2}}\sin(kx)],\,{\hbox{relazione 1}}$$

Osservo che

$$|f\cdot {\sqrt {2}}\cos(kx)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u){\sqrt {2}}\cos(ku)\,du$$

$$|f\cdot {\sqrt {2}}\cos(kx)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u){\sqrt {2}}\cos(ku)\,du$$

$$|f\cdot {\sqrt {2}}\sin(kx)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u){\sqrt {2}}\sin(ku)\,du$$

$$|f\cdot {\sqrt {2}}\sin(kx)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u){\sqrt {2}}\sin(ku)\,du$$

quindi sostituendo nella relazione 1 ottengo:

$$f={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\,du+\sum _{k=1}^{\infty }\{[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u){\sqrt {2}}\cos(ku)\,du]*{\sqrt {2}}\cos(kx)$$

$$f={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\,du+\sum _{k=1}^{\infty }\{[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u){\sqrt {2}}\cos(ku)\,du]*{\sqrt {2}}\cos(kx)$$

$$+[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u){\sqrt {2}}\sin(ku)\,du]*{\sqrt {2}}\sin(kx)]\}$$

$$+[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u){\sqrt {2}}\sin(ku)\,du]*{\sqrt {2}}\sin(kx)]\}$$

e semplificando i coefficienti

$$f={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\,du+\sum _{k=1}^{\infty }\{[{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\cos(ku)\,du]*\cos(kx)+[{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\sin(ku)\,du]*\sin(kx)]\}$$

$$f={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\,du+\sum _{k=1}^{\infty }\{[{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\cos(ku)\,du]*\cos(kx)+[{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\sin(ku)\,du]*\sin(kx)]\}$$

quindi definisco

$$a_{k}={\frac {1}{\pi }}*[\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\cos(ku)\,du]$$

$$a_{k}={\frac {1}{\pi }}*[\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\cos(ku)\,du]$$

$$b_{k}={\frac {1}{\pi }}*[\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\sin(ku)\,du]$$

$$b_{k}={\frac {1}{\pi }}*[\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\sin(ku)\,du]$$

in modo tale che

$$f=a_{0}/2+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}*\cos(kx)+b_{k}*\sin(kx))$$

$$f=a_{0}/2+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}*\cos(kx)+b_{k}*\sin(kx))$$

Convergenza puntuale delle serie di Fourier

Mi chiedo quali siano le ipotesi da imporre su $f$$f$ per avere che $s_{n}$$s_{n}$ converge puntualmente ad $f$$f$ con $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ successione delle somme parziali della serie di Fourier, cioè

$$s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}*\cos(kx)+b_{k}*\sin(kx))$$

$$s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}*\cos(kx)+b_{k}*\sin(kx))$$

Definizione 5.3

Una funzione si dice continua a tratti se $f$$f$ è discontinua al più in un insieme finito di punti, e se in tali punti esistono il limite destro e sinistro di $f$$f$.

 

Definizione 5.4

Una funzione $f$$f$ si dice regolare a tratti se è continua a tratti, e se è derivabile tranne al più in un numero finito di punti, e in tali punti esistono il limite destro e sinistro del rapporto incrementale. Definisco la derivata destra in un punto $x$$x$ come

$$d^{+}f(x)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x^{+})}{h}}$$

$$d^{+}f(x)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x^{+})}{h}}$$

 

Esempio 5.1

Data la funzione modulo, essa è continua nell'origine ma non è derivabile lì, tuttavia esistono le derivate destra e sinistra nell'origine, quindi questa è una funzione regolare a tratti.

Scrivo la serie di Fourier della funzione modulo: la funzione modulo è pari, quindi tutti i $b_{n}$$b_n$ sono nulli e si ha

$$f(x)=1/2[{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|u|\,du]+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}[\int _{-\pi }^{\pi }|u|\cos(ku)\,du]*\cos(kx).$$

$$f(x)=1/2[{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|u|\,du]+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}[\int _{-\pi }^{\pi }|u|\cos(ku)\,du]*\cos(kx).$$

$$f(x)=[{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }u\,du]+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}[2\int _{0}^{\pi }u\cos(ku)\,du].$$

$$f(x)=[{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }u\,du]+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}[2\int _{0}^{\pi }u\cos(ku)\,du].$$

Integro per parti:

$$\int _{0}^{\pi }u\cos(ku)\,du=[u/k*\sin(ku)]_{0}^{\pi }-1/k\int _{0}^{\pi }\sin(ku)\,du$$

$$\int _{0}^{\pi }u\cos(ku)\,du=[u/k*\sin(ku)]_{0}^{\pi }-1/k\int _{0}^{\pi }\sin(ku)\,du$$

$$=1/k^{2}[\cos(ku)]_{0}^{\pi }={\frac {1}{k^{2}}}((-1)^{k}-1)$$

$$=1/k^{2}[\cos(ku)]_{0}^{\pi }={\frac {1}{k^{2}}}((-1)^{k}-1)$$

Quindi

$$f={\frac {1}{\pi }}{\frac {\pi ^{2}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}2((-1)^{k}-1)$$

$$f={\frac {1}{\pi }}{\frac {\pi ^{2}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}2((-1)^{k}-1)$$

$$f=\pi /2+2/\pi *\sum _{k=1}^{\infty }((-1)^{k}-1)$$

$$f=\pi /2+2/\pi *\sum _{k=1}^{\infty }((-1)^{k}-1)$$

 

Teorema 5.4

Sia $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ di periodo $2\pi$$2\pi$, $f\in L^{2}((-\pi ,\pi ))$$f\in L^{2}((-\pi ,\pi ))$, regolare a tratti, allora $s_{n}(x)\to f(x)$$s_{n}(x)\to f(x)$ per ogni $x$$x$ punto di continuità di $f$$f$ e $s_{n}(x)\to (f(x^{+})+f(x^{-}))/2$$s_{n}(x)\to (f(x^{+})+f(x^{-}))/2$ nei punti di discontinuità (converge alla semisomma del limite destro e sinistro di $f$$f$ in $x$$x$).

 

Per dimostrare il teorema è necessario questo lemma preliminare:

Lemma 5.2

Per ogni $n\in \mathbb {N}$$n\in \mathbb {N}$ e per ogni $y\neq 0$$y\neq 0$ vale l'uguaglianza:

$$1/2+\cos y+\cos(2y)+\dots +\cos(ny)={\frac {\sin((n+1/2)y)}{2\sin(y/2)}}.$$

$$1/2+\cos y+\cos(2y)+\dots +\cos(ny)={\frac {\sin((n+1/2)y)}{2\sin(y/2)}}.$$

 

Dimostrazione (dimostrazione del lemma)

La dimostrazione è per induzione: Per $n=0$$n=0$ l'uguaglianza diventa $1/2=1/2$$1/2=1/2$ ed è verificata. Suppongo vera l'uguaglianza per $n-1$$n-1$, cioè suppongo che

$$1/2+\cos y+\cos(2y)+\dots +\cos((n-1)y))={\frac {\sin((n-1/2)y)}{2\sin(y/2)}},$$

$$1/2+\cos y+\cos(2y)+\dots +\cos((n-1)y))={\frac {\sin((n-1/2)y)}{2\sin(y/2)}},$$

e la dimostro per $n$$n$.
Per il passo induttivo posso scrivere:

$$1/2+\cos y+\dots +\cos(n-1)y+\cos(ny)={\frac {\sin((n-1/2)y)}{2\sin(y/2)}}+\cos(ny)$$

$$1/2+\cos y+\dots +\cos(n-1)y+\cos(ny)={\frac {\sin((n-1/2)y)}{2\sin(y/2)}}+\cos(ny)$$

e facendo il denominatore comune:

$$={\frac {\sin((n-1/2)y)+\cos(ny)*2\sin(y/2)}{2\sin(y/2)}}$$

$$={\frac {\sin((n-1/2)y)+\cos(ny)*2\sin(y/2)}{2\sin(y/2)}}$$

e per le formule del seno della somma di angoli:

$$={\frac {\sin(ny)*\cos(y/2)-\cos(ny)*\sin(y/2)+2\cos(ny)*\sin(y/2)}{2\sin(y/2)}}$$

$$={\frac {\sin(ny)*\cos(y/2)-\cos(ny)*\sin(y/2)+2\cos(ny)*\sin(y/2)}{2\sin(y/2)}}$$

$$={\frac {\sin(ny)*\cos(y/2)+\cos(ny)*\sin(y/2)}{2\sin(y/2)}}$$

$$={\frac {\sin(ny)*\cos(y/2)+\cos(ny)*\sin(y/2)}{2\sin(y/2)}}$$

$$={\frac {\sin((n+1/2)y)}{2\sin(y/2)}}$$

$$={\frac {\sin((n+1/2)y)}{2\sin(y/2)}}$$

quindi la disuguaglianza è dimostrata.

 

Dimostrazione (dimostrazione del teorema)

Sostituendo $a_{k},b_{k}$$a_{k},b_{k}$ nell'espressione di $s_{n}$$s_{n}$:

$$s_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,dt+\sum _{k=1}^{n}\{{\frac {1}{\pi }}[\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)\,dt]*\cos(kx)+{\frac {1}{\pi }}*[\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)\,dt]*\sin(kx)\}$$

$$s_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,dt+\sum _{k=1}^{n}\{{\frac {1}{\pi }}[\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)\,dt]*\cos(kx)+{\frac {1}{\pi }}*[\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)\,dt]*\sin(kx)\}$$

Scambiando integrale e sommatoria ottengo

$$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*\{1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos(kt)*\cos(kx)+\sin(kt)*\sin(kx)\}\,dt$$

$$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*\{1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos(kt)*\cos(kx)+\sin(kt)*\sin(kx)\}\,dt$$

il termine tra parentesi è il coseno della differenza:

$$s_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*[1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos((t-x)k)]\,dt]$$

$$s_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)*[1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos((t-x)k)]\,dt]$$

Cambio di variabile: $u=t-x$$u=t-x$, $dt=du$$dt=du$

$$s_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi -x}^{\pi -x}f(x+u)*[1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos(ku)]\,du$$

$$s_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi -x}^{\pi -x}f(x+u)*[1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos(ku)]\,du$$

ma per la periodicità dell'integranda posso integrare su $(-\pi ,\pi )$$(-\pi ,\pi )$:

$$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x+u)*[1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos(ku)]\,du$$

$$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x+u)*[1/2+\sum _{k=1}^{n}\cos(ku)]\,du$$

applicando il lemma posso sostituire a $\sum _{k=1}^{n}\cos(ku)$$\sum _{k=1}^{n}\cos(ku)$ la sua espressione:

$$s_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x+t){\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$s_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x+t){\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

Osservo che:

$${\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$${\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$={\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }(1/2+\cos t+\dots +\cos(nt))\,dt$$

$$={\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }(1/2+\cos t+\dots +\cos(nt))\,dt$$

ma i termini con il coseno danno contributo nullo e l'integrale vale $1/2$$1/2$.
Complessivamente valgono le seguenti formule:

$$1/2={\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt,\,{\hbox{formula 1}}$$

$$1/2={\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt,\,{\hbox{formula 1}}$$

$$1/2={\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{0}{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt,\,{\hbox{formula 2}}$$

$$1/2={\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{0}{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt,\,{\hbox{formula 2}}$$

A questo punto verifico che $s_{n}$$s_{n}$ converge puntualmente alla semisomma valutando la differenza:

$$|s_{n}-{\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}|={\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{\pi }f(x+t)*{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$|s_{n}-{\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}|={\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{\pi }f(x+t)*{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$-{\frac {f(x^{+})}{2}}-{\frac {f(x^{-})}{2}}$$

$$-{\frac {f(x^{+})}{2}}-{\frac {f(x^{-})}{2}}$$

spezzo l'integrale, e al posto di $1/2$$1/2$ uso le formule 1 e 2:

$$|s_{n}-{\frac {f(x^{+})}{2}}-{\frac {f(x^{-})}{2}}|=$$

$$|s_{n}-{\frac {f(x^{+})}{2}}-{\frac {f(x^{-})}{2}}|=$$

$${\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{0}f(x+t)*{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$${\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{0}f(x+t)*{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$+{\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }f(x+t)*{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$+{\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }f(x+t)*{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$-f(x^{-})*{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{0}{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$-f(x^{-})*{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{0}{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$-f(x^{+})*{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

$$-f(x^{+})*{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin((n+1/2)t)}{2\sin(t/2)}}\,dt$$

Associo gli integrali con gli estremi in comune, e ottengo:

$$|s_{n}(x)-(f(x^{+})+f(x^{-}))/2|={\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }{\frac {f(x+t)-f(x^{+})}{2\sin(t/2)}}*\sin((n+1/2)t)\,dt+{\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{0}{\frac {f(x+t)-f(x^{-})}{2\sin(t/2)}}\sin((n-1/2)t)\,dt$$

$$|s_{n}(x)-(f(x^{+})+f(x^{-}))/2|={\frac {1}{\pi }}*\int _{0}^{\pi }{\frac {f(x+t)-f(x^{+})}{2\sin(t/2)}}*\sin((n+1/2)t)\,dt+{\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{0}{\frac {f(x+t)-f(x^{-})}{2\sin(t/2)}}\sin((n-1/2)t)\,dt$$

Chiamo

$$G(t)={\begin{cases}{\frac {f(x+t)-f(x^{+})}{2\sin(t/2)}}&\iff 0<t<\pi \\0&\iff t=0\\{\frac {f(x+t)-f(x^{-})}{2\sin(t/2)}}&\iff -\pi <t<0\end{cases}}$$

$$G(t)={\begin{cases}{\frac {f(x+t)-f(x^{+})}{2\sin(t/2)}}&\iff 0<t<\pi \\0&\iff t=0\\{\frac {f(x+t)-f(x^{-})}{2\sin(t/2)}}&\iff -\pi <t<0\end{cases}}$$

$G$$G$ può avere dei punti di discontinuità di prima specie nei traslati dei punti della forma $\xi -x$$\xi -x$ con $\xi$$\xi$ punto di discontinuità di $f$$f$.
Studio $G$$G$ nell'origine. Per $x\to 0^{+}$$x\to 0^{+}$ si ha

$$G(t)={\frac {f(x+t)-f(x^{+})}{2\sin(t/2)}}$$

$$G(t)={\frac {f(x+t)-f(x^{+})}{2\sin(t/2)}}$$

$$={\frac {f(x+t)-f(x^{+})}{t}}*{\frac {t}{2\sin(t/2)}}$$

$$={\frac {f(x+t)-f(x^{+})}{t}}*{\frac {t}{2\sin(t/2)}}$$

In quest'ultima espressione, il limite per $t\to 0$$t \to 0$ del primo addendo esiste per l'ipotesi sulla derivata e ha un valore finito, e il limite del secondo addendo vale 1 perché $\sin(t/2)\sim t/2$$\sin(t/2)\sim t/2$.
$G$$G$ sta in $L^{2}$$L^2$ perché è continua a tratti.

In questo modo posso scrivere:

$$|s_{n}-f(x^{+})/2-f(x^{-})/2|={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }G(t)*\sin((n+1/2)t)\,dt$$

$$|s_{n}-f(x^{+})/2-f(x^{-})/2|={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }G(t)*\sin((n+1/2)t)\,dt$$

e applicando la formula della somma di seni posso spezzare l'integrale:

$$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }G(t)*\cos(t/2)*\sin(nt)\,dt+{\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{\pi }G(t)*\sin(t/2)\cos(nt)\,dt$$

$$={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }G(t)*\cos(t/2)*\sin(nt)\,dt+{\frac {1}{\pi }}*\int _{-\pi }^{\pi }G(t)*\sin(t/2)\cos(nt)\,dt$$

e siccome $G$$G$ in $L^{2}$$L^2$, anche $G(t)*\cos(t/2)$$G(t)*\cos(t/2)$ e $G(t)*\sin(t/2)$$G(t)*\sin(t/2)$ sono continue a tratti e stanno in $L^{2}$$L^2$.

Il primo integrale è l'n-esimo coefficiente di indice pari della serie di Fourier di $G(t)*\cos(t/2)$$G(t)*\cos(t/2)$, e per il teorema di Riemann-Lebesgue tende a 0 e lo stesso vale per il secondo che è il coefficiente n-esimo di indice dispari della serie di Fourier di $G(t)*\sin(t/2)$$G(t)*\sin(t/2)$.