Completezza del sistema trigonometrico

Avendo dimostrato che il sistema trigonometrico è ortonormale per , per dimostrare che è una base basta dimostrare che è anche completo. La dimostrazione si fa in vari passi.

Passo 1 Densità dei polinomi trigonometrici in C(T)[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 5.1

Per ogni positivo, esiste polinomio trigonometrico tale che

(equivalentemente, i polinomi trigonometrici sono densi in per la norma del sup).

 
Dimostrazione

Supponiamo di avere a disposizione una successione di polinomi trigonometrici che soddisfi tre proprietà:

  1. dato , se chiamo ,
    Data , poniamo

Mostriamo che è a sua volta un polinomio trigonometrico.

Pongo , in modo che:

e invertendo gli estremi di integrazione:
sono periodiche e il loro prodotto è periodico, allora posso cambiare l'intervallo di integrazione:
Per ipotesi è un polinomio trigonometrico e si può scrivere:
quindi
e sostituendo nell'espressione di :
e ponendo
si ha
e ho quindi mostrato che è un polinomio trigonometrico.
Valuto la differenza :
Uso la proprietà 2 dei per poter portare dentro all'integrale moltiplicandola per un fattore che vale 1:
Spezzo l'integrale in tre addendi:
Valuto separatamente i tre addendi e mostro che ognuno è minore di :

  1. Primo addendo:
    La funzione è continua e siccome è compatto, è uniformemente continua. Allora ponendo , e si ha , allora per l'uniforme continuità .
    e siccome per la proprietà 1 dei l'integranda è positiva posso considerare un intervallo di integrazione più grande:
    applicando ancora la proprietà 2.
  2. Secondo addendo:
    infatti se il tutto tende a 0 per la proprietà 3 dei .
  3. terzo addendo: si tratta come il secondo

Sommando i tre integrali ottengo e in particolare .

Mostro che la disuguaglianza vale anche per la norma 2:

quindi la disuguaglianza vale anche in norma 2, perché
e è il polinomio trigonometrico di cui ho affermato l'esistenza nell'enunciato.
Resta da verificare che effettivamente esiste una successione di polinomi con le tre proprietà elencate sopra: definisco , con costante positiva.

  1. La prima proprietà (positività) è verificata;
  2. determino in modo che sia soddisfatta anche la seconda, cioè impongo:
  3. Per verificare la terza proprietà è necessario dare una stima dei . Siccome è pari, si ha
    e ponendo , l'integrale di partenza è:
    e ponendo , si ha
    quindi
    cioè
    Devo quindi valutare:
    perché i sono decrescenti, e sostituendo l'espressione dei :
    e usando la stima per i :
    infatti quindi .
 

Passo 2 densità di C^T in L^2(T)[modifica | modifica wikitesto]

Mostro che le funzioni continue su sono dense in norma 2 su .
Definizione 5.2

Data la -algebra , la misura è regolare se per ogni valgono le due condizioni seguenti:

  1. con compatto e contenuto in (regolarità dal basso)
  2. , con aperto. (regolarità dall'alto)
 


Teorema 5.2

Nell'ipotesi che è regolare, che sia finita e che gli aperti sono misurabili, si ha che è denso in .

 
Dimostrazione

Dimostriamo in realtà che è denso in se è regolare. Mostro prima che è denso in . Data una funzione misurabile e positiva, si definisce come sup degli integrali delle funzioni semplici minori di . Le funzioni semplici sono somme di funzioni indicatrici, quindi basta mostrare il risultato per le indicatrici.

Sia misurabile e mostro che è approssimabile con funzioni continue in , in questo modo mostro che le funzioni continue su sono dense in .

Per la regolarità della misura, dato positivo, esistono compatto e aperto tali che tali che .

Definiamo la funzione

questa quantità è ben definita, il denominatore non si annulla, perché se fosse nullo si avrebbe contemporaneamente (chiuso) e e questo non può avvenire.
è continua e ha valori in e si annulla su mentre vale 1 su . Considero la differenza
e applicando le leggi di complementazione a :
e siccome il secondo integrale è nullo
Mostro che le funzioni semplici sono dense in : questo è vero per il seguente risultato: sia misurabile, allora esiste una successione di funzioni semplici tali che e puntualmente. Se , allora anche le sono in , inoltre quindi l'integrale di è ben definito e per il teorema di convergenza dominata si ha
cioè .

 

In questa dimostrazione è stato sfruttato il seguente risultato:

Proposizione 5.1

In uno spazio metrico , se è denso in e è denso in , allora è denso in .

 
Dimostrazione

Fisso e , devo mostrare che . Siccome è denso in , esiste in . Ma è denso in , allora deve esistere tale che , quindi applicando la disuguaglianza triangolare

 

Passo 3 conclusione[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 5.3

L'insieme delle funzioni è un sistema ortonormale completo in .

 
Dimostrazione

Dobbiamo mostrare che è denso in , cioè che per ogni esiste polinomio trigonometrico tale che . Per il passo 1, sappiamo che data e , esiste polinomio trigonometrico tale che e di conseguenza, anche perché . Per il passo 2, data , allora esiste tale che , allora

 
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