Spazi di Hilbert

Esercizio 7.8

Mostrare che , insieme delle funzioni continue, non è completo, con la norma

 
Dimostrazione

E' già stato verificato che quella data è una norma. Definisco il prodotto scalare come

infatti facendo il prodotto scalare di un elemento con se stesso ottengo

Osservo che il prodotto scalare è nullo se e solo se , infatti se una funzione è positiva e continua il suo integrale è nullo solo se ovunque.

Per mostrare che lo spazio non è di Hilbert, considero la seguente successione:

Le sono continue e il tratto lineare collega i punti e .
Mostro che la successione è di Cauchy. Per , stimo
è nulla per e per (le funzioni sono uguali in questi intervalli), mentre sull'intervallo la differenza è maggiorata da 1. Spezzo l'integrale in tre parti:
cioè . Quindi la successione è di Cauchy.
Mostro che non esiste una funzione continua a cui la successione di partenza converge.
Supponiamo per assurdo che la successione converga in norma 2 a una funzione continua. Allora dev'essere
Spezzo l'integrale:
e la somma di questi due termini positivi tende a 0 solo se entrambi gli addendi tendono a 0.
Considerando , siccome è positiva e continua, l'integrale è nullo solo se , e quindi su .
Per studiare l'altro addendo, scelgo , e considero . Allora per ogni , segue che
tende a 0 solo se sull'intervallo, cioè se per ogni , e questo vale per ogni . Allora, per il punto precedente , ma per continuità
quindi questi valori sono discordanti e si ha una contraddizione, allora non può essere una funzione continua.

 


Esercizio 7.9

In uno spazio di Hilbert, prendo due vettori sulla bolla unitaria, e considero il segmento che li congiunge. Mostriamo che tutti i punti interni al segmento hanno norma minore di 1, cioè, per ogni ,

 
Dimostrazione

A priori, per la subadditività della norma, la norma dei punti interni al segmento è . In particolare, la norma dei punti interni al segmento è esattamente uguale a 1 nel caso della norma in cui le bolle sono quadrate (norma infinito). Supponiamo prima che , allora mostriamo che , infatti

quindi implica .
Mostriamo poi che se , si avrebbe , e quindi il segmento degenera.
(avendo escluso gli estremi del segmento, il denominatore dell'espressione sopra è sempre ben definito)
Quindi per il punto precedente, sapendo che sono unitari, il fatto che implica , quindi il segmento degenera e in uno spazio di Hilbert i punti del segmento devono avere necessariamente norma minore di 1.

L'ipotesi che lo spazio è di Hilbert è stata sfruttata, per esempio, quando scrivo la norma quadra di un vettore come prodotto scalare del vettore con se stesso.

 
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