Spazi L^p

Esercizio 7.13

Ricordo che

 
  1. c'è un'inclusione tra i due oggetti?Mostro che .Prendo una successione in , allora
    ma la condizione affinché una serie converga è che il suo termine generale tenda a 0, allora , quindi e si ha quindi
    cioè la successione sta in .
  2. mostrare che è denso in .Per gli spazi di Hilbert vale un risultato sulla densità: è denso in se con il prodotto scalare di , cioè tale che date due successioni , si ha
    Considero la famiglia e così via, che stanno in . Cerco un vettore che li annulla tutti (e che annulla così anche tutti i vettori di ). Data una successione , si ha
    e affinché sia nullo dev'essere . Analogamente
    ed è nullo solo se , e così via, cioè l'unico vettore tale che è il vettore nullo, quindi .
  3. C'è un'inclusione tra in quanto spazi di funzioni su ?
    Mostro che . Supponiamo e applicando Hoelder:
    infatti per ipotesi la quantità sotto radice è finita, quindi anche il membro di partenza è finito e .In particolare, l'inclusione (e in generale se ) se l'insieme su cui integro ha misura finita.Gli spazi intesi come spazi di successioni, sono casi particolari di ed dove l'insieme di definizione è e la misura considerata è quella del conteggio, allora per questo non vale l'inclusione .
  4. Considero e . Dimostrare che non c'è inclusione tra i due spazi.Basta fare degli esempi: sta in ma non in perché il suo quadrato non è integrabile in 0. Invece sta in ma non in perché non è integrabile all'infinito.L'inclusione vale se "taglio la funzione al finito" e quindi se non considero il suo comportamento in un intervallo finito.Se nel primo controesempio non considero il comportamento della funzione sull'intervallo la funzione diventa a quadrato sommabile cioè sta anche in .Non si può fare un ragionamento analogo per il secondo controesempio, quindi non può valere l'altra inclusione.


Esercizio 7.14

Data la successione di funzioni , tali che

rispondere alle seguenti domande.

 
  1. Calcolare .
    Questa è una funzione continua definita su un compatto e ammette massimo e minimo. Cerco i punti in cui la derivata si annulla:
    Quindi le crescono prima del punto e assumono il massimo in tale punto.Concludo che
    e per , .
  2. Dimostrare che per ogni .Voglio mostrare che
    Moltiplicando per ottengo
    e moltiplicando per :
    Pongo , e ottengo
    quindi l'ultima disuguaglianza è sempre verificata, e lo stesso vale per quella di partenza.
  3. Calcolare .
    Calcolo il limite puntuale di : se , . Altrimenti
    Il passaggio al limite sotto il segno di integrale è consentito dal teorema di convergenza dominata, perché con , allora
    Osservazione: il limite della norma infinito è , mentre il limite della norma 1 è 0.


Esercizio 7.15

Data la successione di funzioni

rispondere alle seguenti domande.

 
  1. Dimostrare che la successione è convergente in e calcolarne il limite.Calcolo il limite puntuale della successione:
    Quindi il limite puntuale di è .Verifico se vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale e per farlo cerco una maggiorante integrabile delle .Verifico se il limite puntuale è anche una maggiorante della successione:
    allora è una maggiorante integrabile, e vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale:
    allora , quindi è anche il limite della successione di partenza.
  2. Mostrare che non è limitata in .Osservo che la maggiorante delle , non sta in , perché .Mostriamo che
    cioè che la successione delle norme non è limitata.Siccome , si ha , e diverge.Applico il lemma di Fatou alla successione :
    e siccome si ha:
    allora a maggior ragione .


Esercizio 7.16

Sia uno spazio di misura con misura positiva. Supponiamo che con e .

 
  1. Mostrare che il prodotto sta in , e che
    è lo spazio delle funzioni essenzialmente limitate, quindi che può essere portata fuori dall'integrale:
    e implica che , quindi .
  2. Supponendo ora che , mostrare che .Devo mostrare che . Se , posso scrivere , allora
    Per ipotesi , quindi , quindi
    e se estraggo la radice q-esima:
    infatti entrambi i fattori al secondo membro sono limitati.
  3. Nell'ipotesi precedente, mostrare che .Sfruttando la disuguaglianza precedente:
    posso scrivere
    e per , siccome sto elevando quantità limitate a 0, il limite vale 1, e rimane
    Osservazione: Vale anche che
    cioè lo spazio è il limite degli spazi . Tuttavia dimostrare la disuguaglianza inversa
    è più complicato.


Esempio 7.1

Esistono successioni per cui nel lemma di Fatou vale la disuguaglianza stretta. Considero ad esempio la successione

All'aumentare di , il tratto in cui le valgono 1 si sposta sempre più a destra, quindi puntualmente.


Le sono misurabili e positive, quindi posso applicare Fatou:

quindi in questo caso Fatou vale con il segno di disuguaglianza stretta.

 


Esercizio 7.17

Supponiamo di avere una funzione periodica di periodo e continua a tratti. Introduciamo la funzione

dove è il coefficiente di Fourier della serie di Fourier di che è ben definita. Allora rispondere alle seguenti domande.

 
  1. Mostrare che è periodica.Per mostrare la periodicità di , osservo che , e mostro che anche .
    e spezzando l'integrale:
    Sostituisco l'espressione di ottengo:
    quindi è periodica.Si può mostrare anche che è continua e regolare a tratti.
  2. Calcolare i coefficienti di Fourier di in termini di quelli di .Siano i coefficienti di Fourier di . Allora
    integro per parti, tenendo conto che è la primitiva di :
    Il termine di bordo si annulla, perché il seno si annulla in e . Rimane quindi
    e anche il primo addendo si annulla:
    Lo stesso vale per i .
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