Esercizi di riepilogo

Esercizio 7.18

Mostrare, usando il teorema dell'applicazione aperta, che gli spazi di Banach non hanno dimensione numerabile.

 

(da qui segue che lo spazio dei polinomi su non è di Banach perché ha dimensione numerabile)

Dimostrazione

Per assurdo, sia di Banach, di dimensione numerabile, cioè supponiamo che esista una base algebrica numerabile, infinita. Chiamo . Se chiamo , , , , allora

Gli sono di dimensione finita e quindi sono chiusi (sono completi). Per la condizione equivalente al teorema di Baire esiste tale che . Ogni sottospazio vettoriale ha parte interna vuota (lemma ), quindi l'unica possibilità è che , e quindi dovrebbe avere dimensione finita, e si ha una contraddizione perché era stato supposto infinito!

 


Lemma 7.2 (lemma $\ast$)

Sia uno spazio normato e sottospazio vettoriale proprio di . Allora .

 
Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che .


Caso 1: Sia , allora esiste una bolla centrata in 0 e contenuta in . Sia , allora se considero , si ha che , allora è contenuto nella bolla. Allora è un omotetico di un punto che sta nella bolla, e quindi , e quindi deve appartenere a che è un sottospazio vettoriale. Allora si avrebbe , assurdo.


Caso 2: Se suppongo che il punto interno a sia , allora esiste una bolla . Allora

e da quest'inclusione segue che , cioè anche è necessariamente punto interno e ci si riconduce al caso precedente.

 


Osservazione 7.1

è un sottospazio di Hilbert di e quindi è un Banach di dimensione infinita. Allora la cardinalità di ogni base algebrica di dev'essere più che numerabile, mentre la dimensione di come spazio di Hilbert è numerabile (la base è data dagli ).

 


Esercizio 7.19

Sia un'applicazione lineare. Il grafico è chiuso se e solo se le ipotesi e implicano .

 
Dimostrazione

: per il teorema del grafico chiuso, se ha grafico chiuso allora è continua, e quindi vale la condizione 2 che è equivalente alla continuità.

: per mostrare che il grafico è chiuso, basta mostrare che ogni punto che sia limite di una successione appartiene al grafico. Se ho una successione tale che e , segue che la successione , e il fatto che segue dalla condizione 2, perché si deve avere .

 


Esercizio 7.20

Considero uno spazio di Hilbert , e una funzione lineare tale che (condizione ). Mostrare che ha grafico chiuso.

 


Dimostrazione

Per l'esercizio precedente, mostrare che il grafico di è chiuso equivale a mostrare che per ogni successione tale che e (proprietà ), si ha che . Considero una successione che soddisfa la proprietà , e mostro che . Fisso un vettore , allora, siccome , segue che

Inoltre applicando la condizione e per :
e siccome il primo membro tende a 0, si avrà , cioè . Allora il grafico di è chiuso e per il teorema del grafico chiuso, è continua.

 


Esercizio 7.21

Considero di Banach e continua. Considero le seguenti condizioni:

  1. esiste tale che
  2. e è chiuso in .

Mostrare che le condizioni 1 e 2 sono equivalenti.

 
Dimostrazione

: supponiamo che e mostriamo che (equivalentemente che è iniettiva. Preso , per ipotesi si ha

e quindi cioè e .

Mostro ora che è chiuso in , e quindi che data una successione che tende a , allora . Per ipotesi

inoltre
ma siccome è di Banach e converge a , allora è di Cauchy, per la disuguaglianza 1 anche è di Cauchy, e quindi converge ad un certo poiché è di Banach. Mostro ora che . Per la continuità di :
quindi .

: è iniettiva, allora esiste un'inversa .

L'inversa è lineare, infatti ad esempio

Un operatore lineare è continuo se e solo se la norma è limitata. Per il corollario al teorema dell'applicazione aperta è continua, quindi ha norma limitata, e questa condizione si traduce con l'esistenza delle due costanti tali che
e quindi in particolare vale la condizione 1.

 


Esercizio 7.22

Considero tre spazi di Banach:

  1. Determinare le inclusioni tra questi spazi.
  2. Mostrare che l'insieme delle successioni definitivamente nulle è denso in .
  3. Mostrare che è separabile e che non lo è.
 
Dimostrazione
  1. Si ha che .
  2. Fisso , allora con . Considero la bolla e mostro che interseca l'insieme delle successioni definitivamente nulle.
    Costruisco una successione che stia nella bolla. Siccome ha serie convergente, esiste tale che
    Allora, per , pongo , e poi pongo .In questo modo si ha
    e quindi , che è una successione definitivamente nulla, sta nella bolla, e l'insieme delle successioni definitivamente nulle è denso in .
  3. Per mostrare che è separabile basta considerare come sottoinsieme denso e numerabile le successioni a elementi razionali definitivamente nulle. invece non è separabile. Supponiamo per assurdo che esista un sottoinsieme denso e numerabile. Considero un sottoinsieme , e considero la funzione caratteristica di , tale che vale 1 se e se , quindi le funzioni caratteristiche sono successioni di 0 e 1 e possono essere viste come elementi di . Questo insieme ha cardinalità non numerabile, inoltre, dato ,
    Allora ho una quantità non numerabile di funzioni di norma 1. Le bolle aperte di raggio centrate in queste funzioni sono disgiunte, e costituiscono una famiglia non numerabile. Allora in ogni bolla dev'esserci un elemento del sottoinsieme numerabile denso , e questo è assurdo.
 
 Precedente