Disuguaglianze fondamentali

Esercizio 7.2

Dato e e ponendo

dimostrare la disuguaglianza triangolare per la norma euclidea.

 
Dimostrazione

Dimostro che

ed esplicitando le espressioni delle norme, devo dimostrare che:
Elevando al quadrato il membro di sinistra:
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha:
Allora proseguendo con le disuguaglianze e sostituendo l'espressione di :
cioè, risalendo al primo membro:
e prendendo la radice:
cvd

 


Esercizio 7.3

Determinare quando vale l'uguaglianza di Hoelder: dati due vettori , cioè quando si ha che

con .

 
Dimostrazione

Ripercorrendo la dimostrazione della disuguaglianza di Hoelder, si ha che questa si dimostra a partire dalla disuguaglianza di Young:

Se pongo e si ha
e sommando su tutti gli indici:
allora nell'ipotesi che e , la disuguaglianza di Hoelder vale.
Si ha quindi che l'uguaglianza di Hoelder vale se e solo se anche la disuguaglianza di Young vale con il segno di uguale.
Nella dimostrazione della disuguaglianza di Young, si ha una serie di uguaglianze, e la prima disuguaglianza con il segno compare quando si utilizza la convessità della funzione esponenziale:
Richiediamo allora che in quest'ultima relazione valga l'uguale: questo avviene solo se i punti di intersezione tra la retta secante e la funzione coincidono, e quindi solo se la retta è tangente alla funzione e si ha .
Ma nella dimostrazione della disuguaglianza di Young, si ha , , e quindi
Verifica: mostro che il risultato trovato è corretto. Se ,
Inoltre quindi
e si ha
e questo è vero perché , quindi effettivamente la disuguaglianza di Young vale con il segno di uguale se .
Nella disuguaglianza di Hoelder vale l'uguale se la disuguaglianza di Young vale per ogni termine della sommatoria. Allora per ogni indice i, si deve avere .

 
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