Successioni generalizzate

E' necessario dare alcune definizioni per la dimostrazione delle cinque condizioni equivalenti anche nel caso di insiemi ortonormali non numerabili.

In spazi non numerabili serve dare una nuova definizione della somma di una serie. Considero un sottoinsieme finito, con , e chiamo . Supponiamo che gli siano positivi, allora definisco

Spazio filtrante[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.7

Sia un insieme parzialmente ordinato. Diremo che è filtrante se presi , esiste tale che e (presi due elementi nell'insieme, è sempre possibile trovarne uno maggiore di entrambi).

 


Esempio 4.4
Insieme dei sottoinsiemi finiti
Considero un insieme e ne prendo i suoi sottoinsiemi finiti, cioè definisco

Presi due sottoinsiemi finiti, la loro unione è finita e li contiene tutti e due, quindi è un insieme filtrante per l'inclusione.

insieme delle bolle
Dato uno spazio topologico fisso e considero insieme degli intorni di . Definisco la relazione d'ordine tale che se e solo se (infatti più un intorno è piccolo più ci si avvicina al punto).


è filtrante perché, dati due intorni e l'intersezione tra i due, , è più grande di essi rispetto alla relazione d'ordine definita.

 

Successione generalizzata[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.8

Sia un insieme, si chiama successione generalizzata in una funzione definita su un insieme filtrante a valori in .

 
Ogni successione in è una successione generalizzata (infatti basta prendere come insieme filtrante ).
Definizione 4.9

In uno spazio topologico, la successione generalizzata converge a se per ogni intorno di , esiste tale che per ogni , .

 


Proposizione 4.4

Dato spazio topologico e , allora è l'insieme degli tali per cui esiste una successione generalizzata a valori in convergente a .

 
Dimostrazione

INCLUSIONE 1: Sia tale che esiste una successione generalizzata di punti di che converge a . Mostro che . Sia intorno di , allora devo mostrare che (infatti se questo avviene per ogni intorno si ha ). Per ipotesi esiste una successione generalizzata convergente a , quindi deve esistere tale che per ogni , , quindi questo implica e , cioè .

INCLUSIONE 2: Viceversa, supponiamo che appartenga a , questo equivale a dire che per ogni intorno di , è non vuoto. Allora esiste . Considero quindi l'insieme filtrante degli intorni di come insieme di indici, e il net che associa ad un certo (e quindi ad un certo intorno di ) l'elemento , che esiste per quanto detto sopra. Ovviamente la successione generalizzata degli converge a , infatti, se considero , allora certamente esiste tale che per ogni , (basta prendere , perché, in base alla relazione d'ordine definita sull'insieme filtrante degli intorni, prendere significa prendere intorni contenuti in .)

 

Continuità[modifica | modifica wikitesto]

Si può mostrare che anche la continuità si descrive con le successioni generalizzate.
Teorema 4.8

Siano spazi topologici, e . è continua se e solo se per ogni successione generalizzata che tende a , si ha che la nuova successione generalizzata tende a .

 
Dimostrazione

: Suppongo che sia continua in . Dire che il net converge a significa che per ogni intorno di , esiste tale che per ogni , . Mostro che esiste un indice tale che per ogni , con intorno di . Per la continuità di in esiste tale che , segue che per ogni (cioè, in base alla relazione d'ordine definita sull'insieme filtrante degli intorni, per ogni contenuto in ).

: Viceversa, supponiamo che per ogni net convergente a , e deduciamo la continuità di in . Sia intorno di e cerco tale che . Supponiamo per assurdo che per ogni intorno di non sia vero che , allora per ogni esiste tale che . Allora è un net, che converge a , allora per ipotesi si ha contro l'ipotesi assurda. (questa dimostrazione non funzionerebbe in tutti gli spazi se si usassero successioni a valori in invece dei net, perché in generale la famiglia degli intorni non è indicizzabile in modo numerabile).

 

Successione generalizzata di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.10

Sia uno spazio metrico e un net in , cioè una funzione . è di Cauchy se per ogni esiste tale che per ogni , .

 


Teorema 4.9

è completo (ogni successione di Cauchy definita su converge) se e solo se ogni net di Cauchy in è convergente.

 

(la condizione è banale, ma bisognerà dimostrare )

Net e spazi di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Sia di Hilbert e ortonormale completo, fissiamo e sottoinsieme finito di , e chiamo .
Lemma 4.2

indicizzato dai sottoinsiemi finiti in è un net di Cauchy.

 
Dimostrazione

L'insieme dei sottoinsiemi finiti è un insieme filtrante e può essere utilizzato per indicizzare un net. L'insieme

è numerabile. Siccome vale Bessel, si ha
cioè la serie converge e la sua coda è trascurabile, quindi dato positivo, esiste tale che
In questo caso l'indice per cui la successione è di Cauchy è dato dall'insieme . Infatti per ogni finiti, con , si ha
e per Pitagora, tenendo conto che gli sono a due a due ortogonali, si ha che:
e tenendo conto che per i termini compaiono con segno opposto e si elidono, si ha:
e da questa riscrittura è evidente che non compaiono termini della forma con perché , quindi la quantità considerata è per la relazione (sto considerando solo una parte della coda che è trascurabile) e il net considerato è di Cauchy.

 


Per il teorema sulla completezza, segue anche che il net converge a un certo vettore .

Condizioni equivalenti per insiemi non necessariamente numerabili[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.10

Sia di Hilbert e sottoinsieme ortonormale completo. Sono equivalenti:

  1. è una base (un sottoinsieme ortonormale massimale)
  2. è completo (l'inviluppo lineare di è denso in )
  3. per ogni , ( coincide con di cui prima abbiamo mostrato l'esistenza)
  4. per ogni , .
 
Dimostrazione

L'equivalenza dei punti 1,2,3 è già stata dimostrata nel caso numerabile e non dipende dalla cardinalità di .

: devo mostrare che con . Dato , considero

(questo passaggio vale perché posso supporre che il vettore fissato stia in )

A questo punto per la proprietà 2 implica , .

:

: condizione già dimostrata, non dipende dalla cardinalità di .

 

Questo teorema è ben posto perché, per il lemma di Zorn, sappiamo che ogni insieme ammette una base ortonormale.

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