Definizione 4.11
Siano
spazi di Hilbert, e
lineare biunivoca (che rispetta la struttura insiemistica e algebrica).
si dice isomorfismo di spazi di Hilbert se per ogni coppia di vettori
,

Un'isometria

è una funzione tale che

, cioè

e ponendo

vettore generico si ha che le isometrie soddisfano la condizione

Lemma 4.3
Dati due spazi pre hilbertiani (non completi) e
lineare, allora
per ogni
,

se e solo se

è un'isometria.
Dimostrazione
:
Supponiamo che
conservi il prodotto scalare. Allora


: Viceversa, suppongo che

sia un'isometria e mostro che conserva il prodotto scalare. Dato uno scalare

considero

e tenendo conto che

è il coniugato di

posso riscrivere:

e per ipotesi



Eguagliando le formule 1 e 2:

ma siccome

conserva la norma,

, quindi alcuni termini si elidono e rimane

Se gli scalari sono reali, si ottiene

perché non serve considerare la parte reale, e l'uguaglianza è quindi verificata. Se gli scalari sono complessi, per

ottengo

invece per

, si ha

e la parte reale di un numero complesso moltiplicata per

è la parte immaginaria:

quindi i due numeri complessi

e

sono uguali perché hanno la stessa parte reale e immaginaria, e

conserva il prodotto scalare.
L'immagine mediante un'isometria di una successione di Cauchy è ancora una successione di Cauchy.
Teorema 4.11
Sia
completo e
un'isometria, allora
è completo.
Dimostrazione
Considero una successione
di Cauchy in
, allora la successione
è di Cauchy in
, e deve convergere a un certo
per la completezza di
.
inquanto isometria è continua allora, applicando
ai due membri, ottengo
, cioè
converge in
.
Uno spazio di Hilbert è separabile se e solo se ha una base numerabile. (
) è separabile, mostreremo che
è separabile, e che a meno di isomorfismi esiste un unico spazio di Hilbert con cardinalità numerabile.)
Se
è un insieme a priori di cardinalità qualunque, definiamo

Teorema 4.12
Sia
spazio di Hilbert con base
. Allora
è isomorfo a
.
Dimostrazione
Considero
e a
associo l'elemento
tale che
(
sta in
perché i prodotti scalari non nulli sono numerabili).
Per Parseval

ma il primo membro è uguale a

, quindi si ha che

.
Allora
è un'isometria, è lineare e per mostrare che è un isomorfismo tra
e
devo mostrare che è suriettiva.
Osservo che:
- la funzione che manda un certo
in 1 e tutti gli altri vettori in 0 è
, infatti
mentre
se
.
- la funzione che manda
in
e tutti gli altri vettori in 0 è
.
- la funzione che manda
è data da
, e vale lo stesso per tutte le combinazioni lineari di questo tipo.
L'insieme delle funzioni elencate è
, ed è denso in
(dimostrazione
).
L'immagine attraverso l'isometria
di uno spazio completo è completa quindi
è completa ma
è di Hilbert e quindi i suoi sottospazi completi devono essere anche chiusi. Allora lo spazio
è denso e chiuso, quindi coincide con
.
Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)
Fisso
, allora per mostrare che un insieme
è denso basta mostrare che
.
Fisso
, e
positivo, allora considero la bolla
. Cerco in questa bolla una funzione nulla al di fuori di un insieme finito, che stia in
.
Osservo come prima che, per Parseval,

è una serie convergente, allora esiste

tale che la coda di questa serie sia minore di

, cioè tale che

Posso quindi prendere una funzione

definita su

tale che

, e tutti i vettori

con

vengono mandati in 0.

e quindi

sta nella bolla.
Teorema 4.13
Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
Dimostrazione
: sia
un isomorfismo di spazi di Hilbert, e mostro che
e
hanno la stessa dimensione. Considero una base
di
, allora
è una base di
: infatti
conserva la norma essendo un'isometria, quindi i vettori di
hanno norma 1
conserva anche il prodotto scalare quindi
è una famiglia di vettori ortonormali,
è completo, infatti dato
e
, allora
. Infatti,
è suriettiva, quindi
ed esisterà
tale che
. Siccome
è completo,
, quindi esiste
tale che
. Ma
conserva le distanze, quindi
e
e contemporaneamente
.
allora
è una base per
.
: siano
basi di
e
rispettivamente, con
, allora
e
.
implica che c'è una corrispondenza biunivoca
tra le due basi.
Ricordo che


allora posso costruire l'isomorfismo che prende una funzione

in

e la manda in

.
Il diametro di un insieme è il sup delle distanze tra coppie di elementi dell'insieme.
Una famiglia di insiemi

ha la "finite intersection property" se ogni volta che prendo una sottofamiglia finita

la loro intersezione è non vuota.
La compattezza si può descrivere dicendo che ogni famiglia di chiusi con intersezione vuota ha una sottofamiglia finita ad intersezione vuota.
Infatti se
è compatto da ogni suo ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, quindi si può scrivere
con
aperti, allora
, quindi ho una sottofamiglia finita di chiusi ad intersezione vuota.
Proposizione 4.5
Sia
uno spazio metrico, allora sono equivalenti:
è completo;
- Per ogni famiglia
di insiemi chiusi non vuoti tali che
e
allora
;
- Per ogni famiglia
di chiusi con la proprietà dell'intersezione finita e
allora
;
- Ogni net di Cauchy converge.
Dimostrazione (opzionale)
: Considero una famiglia di chiusi
come nell'enunciato. Visto che
per ogni
posso selezionare
.
Mostro che
è di Cauchy: osservo che dati
con
, allora
e
implica
, quindi la coda della successione appartiene tutta a
.
Dato
, per la condizione
segue che esiste
tale che
. Allora, per ogni
, si ha
, allora

quindi la successione è di Cauchy.
Ma l'ipotesi è che

sia completo, quindi la successione converge ad un certo

,
mostro che
e quindi che l'intersezione è non vuota.
Gli

sono chiusi, quindi basta far vedere che

è un punto aderente, cioè che sta nella chiusura di ogni

. Questo è vero perché

è limite di una successione a elementi in

per ogni

, infatti

e per quanto osservato prima

.
Mostro che l'intersezione si riduce a un solo punto: Supponiamo che ci sia un altro punto,
con
. Allora
, ma siccome
esisterà un
che contiene
ma non
.
: Considero una famiglia di chiusi con la proprietà dell'intersezione finita e con inf dei diametri 0. Per la FIP, ogni
è non vuoto (altrimenti la famiglia finita
non soddisfa la proprietà). Siccome l'inf dei diametri è 0, per ogni
esiste
tale che
(formula 1).
Per ogni
pongo
. Questa è un'intersezione finita di chiusi, quindi per la FIP è non vuota, e ovviamente è decrescente perché in
interseco un numero maggiore di insiemi.
Inoltre essendo
, per la formula 1
per ogni
, quindi all'aumentare di
il diametro di
tende a 0, e alla famiglia
si può applicare 2, quindi esiste un unico
tale che
.
Mostro che
appartiene a tutti gli
. Fisso
, e chiamo
con
per la FIP. Inoltre la famiglia
soddisfa le ipotesi della condizione 3 infatti:
- è una famiglia di chiusi,
- ha la fip perché:


quindi globalmente è un'intersezione finita di
;
- l'inf dei diametri è 0 [perché gli
sono tutti insiemi contenuti nei
e per ipotesi
.
Ripetendo il procedimento precedente applicato agli
ottengo che esiste un punto
che appartiene a
dove i
sono stati costruiti come prima.


ma nell'intersezione senza

c'è un punto solo,

, quindi

deve stare anche in

, ma questo è vero per ogni

quindi vale 3.

: Sia

un net di Cauchy. Fisso

e considero

. Affermo che
è un chiuso non vuoto.
verifica la FIP. Prendo
. L'insieme degli indici deve essere filtrante, quindi per ogni coppia di indici deve esisterne uno maggiore di entrambi, e applicando il procedimento più volte, esiste
. Quindi ho un chiuso
contenuto in tutti gli altri.
- l'inf dei diametri è 0, perché il net è di Cauchy.Infatti, per ogni
esiste
tale che
quindi
, perché
è l'insieme degli
con
e quindi contiene tutti i punti
per cui
.
Quindi per la 3 esiste
e mostro che
è il limite del net, cioè considero
e la bolla
, e cerco un indice
per cui, per
gli elementi del net stanno nella bolla.
Per la proprietà sui diametri degli
esiste
tale che
.
deve stare tutto nella bolla, perché
sta in
, e il diametro questo insieme è minore di
.
Quindi tutti gli elementi del net a partire da
sono nella bolla.
: ogni successione è un net e quindi in particolare ogni successione di Cauchy converge.
Il seguente è un esempio di spazio topologico che non ha un insieme di intorni fondamentali come le bolle.
Esempio 4.5
Sia
: con la topologia della metrica uniforme, graficamente gli intorni di una funzione sono fatti nel seguente modo: considero una funzione e la traslo in alto e in basso di
, l'intorno contiene tutte le funzioni il cui grafico è compreso nella "striscia" individuata dalle due traslate.
Invece, considero ora la topologia della convergenza puntuale, in cui
se per ogni ![{\displaystyle x\in [0,1]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2)
. In questa topologia per determinare l'intorno generico di una funzione fisso un punto
e considero le funzioni che differiscono da
per meno di
in quel punto, ottengo così l'intorno
.
Siccome l'intersezione di intorni è ancora un intorno, l'insieme delle funzioni che si discostano da
per meno di
in un numero finito di punti,
è ancora un intorno, perché intersezione di
.
Mostro che la funzione nulla non ha un sistema fondamentale di intorni numerabile.
Per assurdo supponiamo che esista
famiglia di intorni tale che per ogni
intorno esiste
tale che
. Ogni
è caratterizzato da un
e da un numero finito di punti
su cui le funzioni differiscono dalla funzione nulla per meno di
, e quindi sono minori in modulo di
. L'insieme
non può esaurire
, allora considero un
.
Considero quindi
. Non può esserci nessun intorno
contenuto in
, perché i valori delle funzioni di
sono specificati su
, ma non su
.
In questo spazio topologico la chiusura non si può descrivere con le successioni, anche se si ha la nozione di convergenza di successioni.