Isomorfismo di spazi di Hilbert

Relazione tra isomorfismi e isometrie[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.11

Siano spazi di Hilbert, e lineare biunivoca (che rispetta la struttura insiemistica e algebrica). si dice isomorfismo di spazi di Hilbert se per ogni coppia di vettori ,

 
Un'isometria è una funzione tale che , cioè
e ponendo vettore generico si ha che le isometrie soddisfano la condizione
Lemma 4.3

Dati due spazi pre hilbertiani (non completi) e lineare, allora per ogni ,

se e solo se è un'isometria.

 
Dimostrazione

: Supponiamo che conservi il prodotto scalare. Allora

: Viceversa, suppongo che sia un'isometria e mostro che conserva il prodotto scalare. Dato uno scalare considero
e tenendo conto che è il coniugato di posso riscrivere:
e per ipotesi
Eguagliando le formule 1 e 2:
ma siccome conserva la norma, , quindi alcuni termini si elidono e rimane
Se gli scalari sono reali, si ottiene perché non serve considerare la parte reale, e l'uguaglianza è quindi verificata. Se gli scalari sono complessi, per ottengo
invece per , si ha
e la parte reale di un numero complesso moltiplicata per è la parte immaginaria:
quindi i due numeri complessi e sono uguali perché hanno la stessa parte reale e immaginaria, e conserva il prodotto scalare.

 
L'immagine mediante un'isometria di una successione di Cauchy è ancora una successione di Cauchy.
Teorema 4.11

Sia completo e un'isometria, allora è completo.

 
Dimostrazione

Considero una successione di Cauchy in , allora la successione è di Cauchy in , e deve convergere a un certo per la completezza di . inquanto isometria è continua allora, applicando ai due membri, ottengo , cioè converge in .

 

Uno spazio di Hilbert è separabile se e solo se ha una base numerabile. () è separabile, mostreremo che è separabile, e che a meno di isomorfismi esiste un unico spazio di Hilbert con cardinalità numerabile.)

Spazio l^2(E)[modifica | modifica wikitesto]

Se è un insieme a priori di cardinalità qualunque, definiamo

Teorema 4.12

Sia spazio di Hilbert con base . Allora è isomorfo a .

 
Dimostrazione

Considero e a associo l'elemento tale che ( sta in perché i prodotti scalari non nulli sono numerabili).

Per Parseval

ma il primo membro è uguale a , quindi si ha che .

Allora è un'isometria, è lineare e per mostrare che è un isomorfismo tra e devo mostrare che è suriettiva.

Osservo che:

  1. la funzione che manda un certo in 1 e tutti gli altri vettori in 0 è , infatti mentre se .
  2. la funzione che manda in e tutti gli altri vettori in 0 è .
  3. la funzione che manda è data da , e vale lo stesso per tutte le combinazioni lineari di questo tipo.

L'insieme delle funzioni elencate è , ed è denso in (dimostrazione ).

L'immagine attraverso l'isometria di uno spazio completo è completa quindi è completa ma è di Hilbert e quindi i suoi sottospazi completi devono essere anche chiusi. Allora lo spazio è denso e chiuso, quindi coincide con .

 


Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Fisso , allora per mostrare che un insieme è denso basta mostrare che .

Fisso , e positivo, allora considero la bolla . Cerco in questa bolla una funzione nulla al di fuori di un insieme finito, che stia in .

Osservo come prima che, per Parseval,

è una serie convergente, allora esiste tale che la coda di questa serie sia minore di , cioè tale che
Posso quindi prendere una funzione definita su tale che , e tutti i vettori con vengono mandati in 0.
e quindi sta nella bolla.

 

Spazi di Hilbert isomorfi[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.13

Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

 
Dimostrazione

: sia un isomorfismo di spazi di Hilbert, e mostro che e hanno la stessa dimensione. Considero una base di , allora è una base di : infatti

  1. conserva la norma essendo un'isometria, quindi i vettori di hanno norma 1
  2. conserva anche il prodotto scalare quindi è una famiglia di vettori ortonormali,
  3. è completo, infatti dato e , allora . Infatti, è suriettiva, quindi ed esisterà tale che . Siccome è completo, , quindi esiste tale che . Ma conserva le distanze, quindi
    e e contemporaneamente .

allora è una base per .

: siano basi di e rispettivamente, con , allora e . implica che c'è una corrispondenza biunivoca tra le due basi. Ricordo che

allora posso costruire l'isomorfismo che prende una funzione in e la manda in .

 

Proposizione sulla FIP[modifica | modifica wikitesto]

Il diametro di un insieme è il sup delle distanze tra coppie di elementi dell'insieme.

Una famiglia di insiemi ha la "finite intersection property" se ogni volta che prendo una sottofamiglia finita la loro intersezione è non vuota.
Osservazione 4.3

La compattezza si può descrivere dicendo che ogni famiglia di chiusi con intersezione vuota ha una sottofamiglia finita ad intersezione vuota.

Infatti se è compatto da ogni suo ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, quindi si può scrivere con aperti, allora , quindi ho una sottofamiglia finita di chiusi ad intersezione vuota.

 


Proposizione 4.5

Sia uno spazio metrico, allora sono equivalenti:

  1. è completo;
  2. Per ogni famiglia di insiemi chiusi non vuoti tali che e allora ;
  3. Per ogni famiglia di chiusi con la proprietà dell'intersezione finita e allora ;
  4. Ogni net di Cauchy converge.
 
Dimostrazione (opzionale)

: Considero una famiglia di chiusi come nell'enunciato. Visto che per ogni posso selezionare .

Mostro che è di Cauchy: osservo che dati con , allora e implica , quindi la coda della successione appartiene tutta a .

Dato , per la condizione segue che esiste tale che . Allora, per ogni , si ha , allora

quindi la successione è di Cauchy.
Ma l'ipotesi è che sia completo, quindi la successione converge ad un certo , mostro che e quindi che l'intersezione è non vuota. Gli sono chiusi, quindi basta far vedere che è un punto aderente, cioè che sta nella chiusura di ogni . Questo è vero perché è limite di una successione a elementi in per ogni , infatti e per quanto osservato prima .

Mostro che l'intersezione si riduce a un solo punto: Supponiamo che ci sia un altro punto, con . Allora , ma siccome esisterà un che contiene ma non . : Considero una famiglia di chiusi con la proprietà dell'intersezione finita e con inf dei diametri 0. Per la FIP, ogni è non vuoto (altrimenti la famiglia finita non soddisfa la proprietà). Siccome l'inf dei diametri è 0, per ogni esiste tale che (formula 1).

Per ogni pongo . Questa è un'intersezione finita di chiusi, quindi per la FIP è non vuota, e ovviamente è decrescente perché in interseco un numero maggiore di insiemi. Inoltre essendo , per la formula 1 per ogni , quindi all'aumentare di il diametro di tende a 0, e alla famiglia si può applicare 2, quindi esiste un unico tale che .

Mostro che appartiene a tutti gli . Fisso , e chiamo con per la FIP. Inoltre la famiglia soddisfa le ipotesi della condizione 3 infatti:

  1. è una famiglia di chiusi,
  2. ha la fip perché:
    quindi globalmente è un'intersezione finita di ;
  3. l'inf dei diametri è 0 [perché gli sono tutti insiemi contenuti nei e per ipotesi .

Ripetendo il procedimento precedente applicato agli ottengo che esiste un punto che appartiene a dove i sono stati costruiti come prima.

ma nell'intersezione senza c'è un punto solo, , quindi deve stare anche in , ma questo è vero per ogni quindi vale 3.
: Sia un net di Cauchy. Fisso e considero . Affermo che

  1. è un chiuso non vuoto.
  2. verifica la FIP. Prendo . L'insieme degli indici deve essere filtrante, quindi per ogni coppia di indici deve esisterne uno maggiore di entrambi, e applicando il procedimento più volte, esiste . Quindi ho un chiuso contenuto in tutti gli altri.
  3. l'inf dei diametri è 0, perché il net è di Cauchy.Infatti, per ogni esiste tale che
    quindi , perché è l'insieme degli con e quindi contiene tutti i punti per cui .

Quindi per la 3 esiste e mostro che è il limite del net, cioè considero e la bolla , e cerco un indice per cui, per gli elementi del net stanno nella bolla.

Per la proprietà sui diametri degli esiste tale che . deve stare tutto nella bolla, perché sta in , e il diametro questo insieme è minore di . Quindi tutti gli elementi del net a partire da sono nella bolla.

: ogni successione è un net e quindi in particolare ogni successione di Cauchy converge.

 

Il seguente è un esempio di spazio topologico che non ha un insieme di intorni fondamentali come le bolle.

Esempio 4.5

Sia : con la topologia della metrica uniforme, graficamente gli intorni di una funzione sono fatti nel seguente modo: considero una funzione e la traslo in alto e in basso di , l'intorno contiene tutte le funzioni il cui grafico è compreso nella "striscia" individuata dalle due traslate.

Invece, considero ora la topologia della convergenza puntuale, in cui se per ogni . In questa topologia per determinare l'intorno generico di una funzione fisso un punto e considero le funzioni che differiscono da per meno di in quel punto, ottengo così l'intorno .

Siccome l'intersezione di intorni è ancora un intorno, l'insieme delle funzioni che si discostano da per meno di in un numero finito di punti, è ancora un intorno, perché intersezione di .

Mostro che la funzione nulla non ha un sistema fondamentale di intorni numerabile.

Per assurdo supponiamo che esista famiglia di intorni tale che per ogni intorno esiste tale che . Ogni è caratterizzato da un e da un numero finito di punti su cui le funzioni differiscono dalla funzione nulla per meno di , e quindi sono minori in modulo di . L'insieme non può esaurire , allora considero un .

Considero quindi . Non può esserci nessun intorno contenuto in , perché i valori delle funzioni di sono specificati su , ma non su .

In questo spazio topologico la chiusura non si può descrivere con le successioni, anche se si ha la nozione di convergenza di successioni.

 
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