Isomorfismo di spazi di Hilbert

Relazione tra isomorfismi e isometrie

Definizione 4.11

Siano $X,Y$$X,Y$ spazi di Hilbert, e $\phi :X\to Y$$\phi :X\to Y$ lineare biunivoca (che rispetta la struttura insiemistica e algebrica). $\phi$$\phi$ si dice isomorfismo di spazi di Hilbert se per ogni coppia di vettori $(x,z)\in X$$(x,z)\in X$,

$$x\cdot z=\phi (x)\cdot \phi (z).$$

$$x\cdot z=\phi (x)\cdot \phi (z).$$

 

Un'isometria $T:X\to Y$$T:X\to Y$ è una funzione tale che $d_{X}(x,z)=d_{Y}(T(x),T(z))$$d_{X}(x,z)=d_{Y}(T(x),T(z))$, cioè

$$\|x-z\|_{X}=\|T(x)-T(z)\|_{Y}=\|T(x-z)\|_{Y}$$

$$\|x-z\|_{X}=\|T(x)-T(z)\|_{Y}=\|T(x-z)\|_{Y}$$

e ponendo $x-z=v$$x-z=v$ vettore generico si ha che le isometrie soddisfano la condizione

$$\|v\|_{X}=\|T(v)\|_{Y}.$$

$$\|v\|_{X}=\|T(v)\|_{Y}.$$

Lemma 4.3

Dati due spazi pre hilbertiani (non completi) e $T$$T$ lineare, allora per ogni $x,z\in X$$x,z\in X$,

$$x\cdot z=T(x)\cdot T(z)$$

$$x\cdot z=T(x)\cdot T(z)$$

se e solo se $T$$T$ è un'isometria.

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: Supponiamo che $T$$T$ conservi il prodotto scalare. Allora

$$\|x\|^{2}=x\cdot x=T(x)\cdot T(x)=\|T(x)\|^{2}.$$

$$\|x\|^{2}=x\cdot x=T(x)\cdot T(x)=\|T(x)\|^{2}.$$

$2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: Viceversa, suppongo che $T$$T$ sia un'isometria e mostro che conserva il prodotto scalare. Dato uno scalare $\lambda$$\lambda$ considero

$$(x+\lambda z)\cdot (x+\lambda z)=x\cdot x+{\bar {\lambda }}x\cdot z+\lambda z\cdot x+|\lambda |^{2}z\cdot z$$

$$(x+\lambda z)\cdot (x+\lambda z)=x\cdot x+{\bar {\lambda }}x\cdot z+\lambda z\cdot x+|\lambda |^{2}z\cdot z$$

e tenendo conto che ${\bar {\lambda }}x\cdot z$${\bar {\lambda }}x\cdot z$ è il coniugato di $\lambda z\cdot x$$\lambda z\cdot x$ posso riscrivere:

$$=\|x\|^{2}+2\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}x\cdot z)+|\lambda |^{2}\|z\|^{2},\,{\hbox{formula 1}}$$

$$=\|x\|^{2}+2\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}x\cdot z)+|\lambda |^{2}\|z\|^{2},\,{\hbox{formula 1}}$$

e per ipotesi

$$\|x+\lambda z\|^{2}=\|(T(x)+\lambda T(z))\|^{2}=(T(x)+\lambda T(z))\cdot (T(x)+\lambda T(z))$$

$$\|x+\lambda z\|^{2}=\|(T(x)+\lambda T(z))\|^{2}=(T(x)+\lambda T(z))\cdot (T(x)+\lambda T(z))$$

$$=\|T(x)\|^{2}+\lambda T(z)\cdot T(x)+{\bar {\lambda }}T(x)\cdot T(z)+|\lambda |^{2}\|T(z)\|^{2}$$

$$=\|T(x)\|^{2}+\lambda T(z)\cdot T(x)+{\bar {\lambda }}T(x)\cdot T(z)+|\lambda |^{2}\|T(z)\|^{2}$$

$$=\|T(x)\|^{2}+2\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}T(x)\cdot T(z))+|\lambda |^{2}\|T(z)\|^{2},{\hbox{formula 2}}$$

$$=\|T(x)\|^{2}+2\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}T(x)\cdot T(z))+|\lambda |^{2}\|T(z)\|^{2},{\hbox{formula 2}}$$

Eguagliando le formule 1 e 2:

$$\|x\|^{2}+2\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}x\cdot z)+|\lambda |^{2}\|z\|^{2}=\|T(x)\|^{2}+2\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}T(x)\cdot T(z))+|\lambda |^{2}\|T(z)\|^{2}$$

$$\|x\|^{2}+2\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}x\cdot z)+|\lambda |^{2}\|z\|^{2}=\|T(x)\|^{2}+2\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}T(x)\cdot T(z))+|\lambda |^{2}\|T(z)\|^{2}$$

ma siccome $T$$T$ conserva la norma, $\|T(x)\|^{2}=\|x\|^{2}$$\|T(x)\|^{2}=\|x\|^{2}$, quindi alcuni termini si elidono e rimane

$$\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}x\cdot z)=\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}T(x)\cdot T(z)),\,\forall \lambda \in \mathbb {C}$$

$$\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}x\cdot z)=\mathop {Re} ({\bar {\lambda }}T(x)\cdot T(z)),\,\forall \lambda \in \mathbb {C}$$

Se gli scalari sono reali, si ottiene $x\cdot z=T(x)\cdot T(z)$$x\cdot z=T(x)\cdot T(z)$ perché non serve considerare la parte reale, e l'uguaglianza è quindi verificata. Se gli scalari sono complessi, per $\lambda =1$$\lambda=1$ ottengo

$$\mathop {Re} (x\cdot z)=\mathop {Re} (T(x)\cdot T(z))$$

$$\mathop {Re} (x\cdot z)=\mathop {Re} (T(x)\cdot T(z))$$

invece per $\lambda =-i$$\lambda =-i$, si ha

$$\mathop {Re} (-i*x\cdot z)=\mathop {Re} (-iT(x)\cdot T(z))$$

$$\mathop {Re} (-i*x\cdot z)=\mathop {Re} (-iT(x)\cdot T(z))$$

e la parte reale di un numero complesso moltiplicata per $-i$$-i$ è la parte immaginaria:

$$\mathop {Im} (x\cdot z)=\mathop {Im} (T(x)\cdot T(z))$$

$$\mathop {Im} (x\cdot z)=\mathop {Im} (T(x)\cdot T(z))$$

quindi i due numeri complessi $x\cdot z$$x\cdot z$ e $T(x)\cdot T(z)$$T(x)\cdot T(z)$ sono uguali perché hanno la stessa parte reale e immaginaria, e $T$$T$ conserva il prodotto scalare.

 

L'immagine mediante un'isometria di una successione di Cauchy è ancora una successione di Cauchy.

Teorema 4.11

Sia $X$$X$ completo e $T:X\to Y$$T:X \to Y$ un'isometria, allora $Y$$Y$ è completo.

 

Dimostrazione

Considero una successione $(Y_{n})$$(Y_{n})$ di Cauchy in $Y$$Y$, allora la successione $T^{-1}(Y_{n})$$T^{-1}(Y_{n})$ è di Cauchy in $X$$X$, e deve convergere a un certo $x$$x$ per la completezza di $X$$X$. $T$$T$ inquanto isometria è continua allora, applicando $T$$T$ ai due membri, ottengo $Y_{n}\to T(X)$$Y_{n}\to T(X)$, cioè $Y_{n}$$Y_n$ converge in $Y$$Y$.

 

Uno spazio di Hilbert è separabile se e solo se ha una base numerabile. ($l^{2}$$l^{2}$) è separabile, mostreremo che $L^{2}((-\pi ,\pi ))$$L^{2}((-\pi ,\pi ))$ è separabile, e che a meno di isomorfismi esiste un unico spazio di Hilbert con cardinalità numerabile.)

Spazio l^2(E)

Se $E$$E$ è un insieme a priori di cardinalità qualunque, definiamo

$$l^{2}(E)=\{f\colon E\to \mathbb {R} \,{\hbox{quasi ovunque nulle}},\,t.c.\,\sum f(e)^{2}<\infty \}$$

$$l^{2}(E)=\{f\colon E\to \mathbb {R} \,{\hbox{quasi ovunque nulle}},\,t.c.\,\sum f(e)^{2}<\infty \}$$

Teorema 4.12

Sia $X$$X$ spazio di Hilbert con base $E$$E$. Allora $X$$X$ è isomorfo a $l^{2}(E)$$l^{2}(E)$.

 

Dimostrazione

Considero $l^{2}(E)$$l^{2}(E)$ e a $x\in X$$x \in X$ associo l'elemento ${\hat {x}}\in l^{2}(E)$${\hat {x}}\in l^{2}(E)$ tale che ${\hat {x}}(e)=x\cdot e$${\hat {x}}(e)=x\cdot e$ (${\hat {x}}$${\hat {x}}$ sta in $l^{2}(E)$$l^{2}(E)$ perché i prodotti scalari non nulli sono numerabili).

Per Parseval

$$\sum _{e\in E}|x\cdot e|^{2}=\|x\|^{2}<\infty$$

$$\sum _{e\in E}|x\cdot e|^{2}=\|x\|^{2}<\infty$$

ma il primo membro è uguale a $\|{\hat {x}}\|^{2}$$\|{\hat {x}}\|^{2}$, quindi si ha che $\|x\|=\|{\hat {x}}\|$$\|x\|=\|{\hat {x}}\|$.

Allora ${\hat {\cdot }}$${\hat {\cdot }}$ è un'isometria, è lineare e per mostrare che è un isomorfismo tra $X$$X$ e $l^{2}(E)$$l^{2}(E)$ devo mostrare che è suriettiva.

Osservo che:

1. la funzione che manda un certo $e_{1}\in E$$e_{1}\in E$ in 1 e tutti gli altri vettori in 0 è ${\hat {e}}_{1}$${\hat {e}}_{1}$, infatti $e_{1}\cdot e_{1}=1$$e_{1}\cdot e_{1}=1$ mentre $e_{1}\cdot e=0$$e_{1}\cdot e=0$ se $e\neq e_{1}$$e\neq e_{1}$.
2. la funzione che manda $e_{1}$$e_{1}$ in $\alpha$$\alpha$ e tutti gli altri vettori in 0 è ${\hat {(}}\alpha e_{1})$${\hat {(}}\alpha e_{1})$.
3. la funzione che manda $e_{1}\in \alpha ,e_{2}\in \beta$$e_{1}\in \alpha ,e_{2}\in \beta$ è data da ${\hat {(}}\alpha e_{1}+\beta e_{2})$${\hat {(}}\alpha e_{1}+\beta e_{2})$, e vale lo stesso per tutte le combinazioni lineari di questo tipo.

L'insieme delle funzioni elencate è ${\hat {(}}{\rm {{Lin}E)}}$${\hat {(}}{\rm {{Lin}E)}}$, ed è denso in $l^{2}$$l^{2}$ (dimostrazione $\ast$$\ast$).

L'immagine attraverso l'isometria ${\hat {\cdot }}$${\hat {\cdot }}$ di uno spazio completo è completa quindi ${\hat {(}}{\rm {{Lin}E)}}$${\hat {(}}{\rm {{Lin}E)}}$ è completa ma $l^{2}(E)$$l^{2}(E)$ è di Hilbert e quindi i suoi sottospazi completi devono essere anche chiusi. Allora lo spazio ${\hat {(}}{\rm {{Lin}E)}}$${\hat {(}}{\rm {{Lin}E)}}$ è denso e chiuso, quindi coincide con $l^{2}(E)$$l^{2}(E)$.

 

Dimostrazione (dimostrazione $\ast$)

Fisso $x\in X,\varepsilon >0$$x\in X,\varepsilon >0$, allora per mostrare che un insieme $A$$A$ è denso basta mostrare che $B(x,\varepsilon )\cap A\neq \emptyset$$B(x,\varepsilon )\cap A\neq \emptyset$.

Fisso $f\in l^{2}(E)$$f\in l^{2}(E)$, e $\varepsilon$$\varepsilon$ positivo, allora considero la bolla $B_{f,\varepsilon }$$B_{f,\varepsilon }$. Cerco in questa bolla una funzione nulla al di fuori di un insieme finito, che stia in ${\hat {(}}{\rm {{Lin}E)}}$${\hat {(}}{\rm {{Lin}E)}}$.

Osservo come prima che, per Parseval,

$$\sum _{e\in E}|f\cdot e|^{2}$$

$$\sum _{e\in E}|f\cdot e|^{2}$$

è una serie convergente, allora esiste $n_{0}$$n_{0}$ tale che la coda di questa serie sia minore di $\varepsilon$$\varepsilon$, cioè tale che

$$\sum _{e\in E}|x\cdot e|^{2}\leq \varepsilon .$$

$$\sum _{e\in E}|x\cdot e|^{2}\leq \varepsilon .$$

Posso quindi prendere una funzione $f'$$f'$ definita su $\{e_{1},\dots ,e_{n_{0}}\}$$\{e_{1},\dots ,e_{n_{0}}\}$ tale che $e_{1}\mapsto f(e_{1}),e_{2}\mapsto f(e_{2}),\dots ,e_{n_{0}}\mapsto f(e_{n_{0}})$$e_{1}\mapsto f(e_{1}),e_{2}\mapsto f(e_{2}),\dots ,e_{n_{0}}\mapsto f(e_{n_{0}})$, e tutti i vettori $e_{n}$$e_{n}$ con $n\geq n_{0}$$n\geq n_{0}$ vengono mandati in 0.

$$\|f-g\|_{2}^{2}=\sum _{k=n_{0}+1}^{\infty }|f(e_{k})\cdot e_{k}|^{2}\leq \varepsilon$$

$$\|f-g\|_{2}^{2}=\sum _{k=n_{0}+1}^{\infty }|f(e_{k})\cdot e_{k}|^{2}\leq \varepsilon$$

e quindi $f'$$f'$ sta nella bolla.

 

Spazi di Hilbert isomorfi

Teorema 4.13

Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

 

Dimostrazione

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: sia $T:X\to Y$$T:X \to Y$ un isomorfismo di spazi di Hilbert, e mostro che $X$$X$ e $Y$$Y$ hanno la stessa dimensione. Considero una base $E$$E$ di $X$$X$, allora $T(E)$$T(E)$ è una base di $Y$$Y$: infatti

1. $T$$T$ conserva la norma essendo un'isometria, quindi i vettori di $T(E)$$T(E)$ hanno norma 1
2. $T$$T$ conserva anche il prodotto scalare quindi $T(E)$$T(E)$ è una famiglia di vettori ortonormali,
3. $T(E)$$T(E)$ è completo, infatti dato $\varepsilon >0$$\varepsilon>0$ e $y\in Y$$y\in Y$, allora ${\rm {{Lin}T(E)\cap B_{y,\varepsilon }\neq \emptyset }}$${\rm {{Lin}T(E)\cap B_{y,\varepsilon }\neq \emptyset }}$. Infatti, $T$$T$ è suriettiva, quindi $T(X)=Y$$T(X)=Y$ ed esisterà $x\in X$$x \in X$ tale che $T(x)=y$$T(x)=y$. Siccome $E$$E$ è completo, ${\overline {\rm {{Lin}E}}}=X$${\overline {\rm {{Lin}E}}}=X$, quindi esiste $x'\in {\rm {{Lin}E}}$$x'\in {\rm {{Lin}E}}$ tale che $d(x,x')<\varepsilon$$d(x,x')<\varepsilon$. Ma $T$$T$ conserva le distanze, quindi
   $$d(T(x),T(x'))=d(y,T(x')))<\varepsilon$$

   $$d(T(x),T(x'))=d(y,T(x')))<\varepsilon$$
   e $T(x')\in B_{y,\varepsilon }$$T(x')\in B_{y,\varepsilon }$ e contemporaneamente $T(x')\in {\rm {{Lin}T(E)}}$$T(x')\in {\rm {{Lin}T(E)}}$.

allora $T(E)$$T(E)$ è una base per $Y$$Y$.

$2\longrightarrow 1$$2\longrightarrow 1$: siano $E,F$$E,F$ basi di $X$$X$ e $Y$$Y$ rispettivamente, con $|E|=|F|$$|E|=|F|$, allora $X\cong L^{2}(E)$$X\cong L^{2}(E)$ e $Y\cong L^{2}(F)$$Y\cong L^{2}(F)$. $|E|=|F|$$|E|=|F|$ implica che c'è una corrispondenza biunivoca $\phi :E\to F$$\phi :E\to F$ tra le due basi. Ricordo che

$$l^{2}(E)=\{f:E\to \mathbb {R} \,{\hbox{quasi ovunque nulle,}}\,t.c.\,\sum _{i}f(i)^{2}<\infty \}$$

$$l^{2}(E)=\{f:E\to \mathbb {R} \,{\hbox{quasi ovunque nulle,}}\,t.c.\,\sum _{i}f(i)^{2}<\infty \}$$

$$l^{2}(F)=\{f:F\to \mathbb {R} \,{\hbox{quasi ovunque nulle,}}\,t.c.\,\sum _{i}f(i)^{2}<\infty \}$$

$$l^{2}(F)=\{f:F\to \mathbb {R} \,{\hbox{quasi ovunque nulle,}}\,t.c.\,\sum _{i}f(i)^{2}<\infty \}$$

allora posso costruire l'isomorfismo che prende una funzione $f$$f$ in $l^{2}(F)$$l^{2}(F)$ e la manda in $\phi \circ f\in l^{2}(E)$$\phi \circ f\in l^{2}(E)$.

 

Proposizione sulla FIP

Il diametro di un insieme è il sup delle distanze tra coppie di elementi dell'insieme.

Una famiglia di insiemi $(F_{i})_{i\in I}$$(F_{i})_{i\in I}$ ha la "finite intersection property" se ogni volta che prendo una sottofamiglia finita $\{F_{1},\dots ,F_{n}\}$$\{F_{1},\dots ,F_{n}\}$ la loro intersezione è non vuota.

Osservazione 4.3

La compattezza si può descrivere dicendo che ogni famiglia di chiusi con intersezione vuota ha una sottofamiglia finita ad intersezione vuota.

Infatti se $X$$X$ è compatto da ogni suo ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, quindi si può scrivere $X=A_{1}\cup \dots \cup A_{n}$$X=A_{1}\cup \dots \cup A_{n}$ con $A_{i}$$A_i$ aperti, allora $\emptyset =X^{C}=A_{1}^{C}\cap \dots \cap A_{n}^{C}$$\emptyset =X^{C}=A_{1}^{C}\cap \dots \cap A_{n}^{C}$, quindi ho una sottofamiglia finita di chiusi ad intersezione vuota.

 

Proposizione 4.5

Sia $(X,d)$$(X,d)$ uno spazio metrico, allora sono equivalenti:

1. $(X,d)$$(X,d)$ è completo;
2. Per ogni famiglia $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ di insiemi chiusi non vuoti tali che $F_{n+1}\subset F_{n}$$F_{n+1}\subset F_{n}$ e $\inf _{n}{\rm {{diam}F_{n}=0}}$$\inf _{n}{\rm {{diam}F_{n}=0}}$ allora $\bigcap _{n}F_{n}\neq \emptyset$$\bigcap _{n}F_{n}\neq \emptyset$;
3. Per ogni famiglia $(F_{s})_{s\in S}$$(F_{s})_{s\in S}$ di chiusi con la proprietà dell'intersezione finita e $\inf _{s}{\rm {{diam}F_{s}=0}}$$\inf _{s}{\rm {{diam}F_{s}=0}}$ allora $\bigcap _{s\in S}F_{s}\neq 0$$\bigcap _{s\in S}F_{s}\neq 0$;
4. Ogni net di Cauchy converge.

 

Dimostrazione (opzionale)

$1\longrightarrow 2$$1\longrightarrow 2$: Considero una famiglia di chiusi $(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ come nell'enunciato. Visto che $F_{n}\neq \emptyset$$F_{n}\neq \emptyset$ per ogni $n$$n$ posso selezionare $x_{n}\in F_{n}$$x_{n}\in F_{n}$.

Mostro che $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ è di Cauchy: osservo che dati $m,n$$m,n$ con $m>n$$m>n$, allora $x_{m}\in F_{m}$$x_{m}\in F_{m}$ e $F_{m}\subseteq F_{n}$$F_{m}\subseteq F_{n}$ implica $x_{m}\in F_{n}$$x_{m}\in F_{n}$, quindi la coda della successione appartiene tutta a $F_{n}$$F_n$.

Dato $\varepsilon >0$$\varepsilon>0$, per la condizione $\inf {\rm {{diam}F_{n}=0}}$$\inf {\rm {{diam}F_{n}=0}}$ segue che esiste $n_{0}$$n_{0}$ tale che ${\rm {{diam}F_{n_{0}}<\varepsilon }}$${\rm {{diam}F_{n_{0}}<\varepsilon }}$. Allora, per ogni $m,n>n_{0}$$m,n>n_{0}$, si ha $x_{m},x_{n}\in F_{n_{0}}$$x_{m},x_{n}\in F_{n_{0}}$, allora

$$d(x_{n},x_{m})\leq {\rm {{diam}F_{n_{0}}\leq \varepsilon }}$$

$$d(x_{n},x_{m})\leq {\rm {{diam}F_{n_{0}}\leq \varepsilon }}$$

quindi la successione è di Cauchy.
Ma l'ipotesi è che $X$$X$ sia completo, quindi la successione converge ad un certo $x$$x$, mostro che $x\in \bigcap _{n}F_{n}$$x\in \bigcap _{n}F_{n}$ e quindi che l'intersezione è non vuota. Gli $F_{n}$$F_n$ sono chiusi, quindi basta far vedere che $x$$x$ è un punto aderente, cioè che sta nella chiusura di ogni $F_{k}$$F_k$. Questo è vero perché $x$$x$ è limite di una successione a elementi in $F_{k}$$F_k$ per ogni $k$$k$, infatti $x=\lim _{n\geq k}x_{n}$$x=\lim _{n\geq k}x_{n}$ e per quanto osservato prima $x_{n}\in F_{k}\forall n\geq k$$x_{n}\in F_{k}\forall n\geq k$.

Mostro che l'intersezione si riduce a un solo punto: Supponiamo che ci sia un altro punto, $y\neq x$$y\neq x$ con $y\in \bigcap F_{n}$$y\in \bigcap F_{n}$. Allora $d(x,y)>0$$d(x,y)>0$, ma siccome $\inf {\rm {{diam}F_{n}=0}}$$\inf {\rm {{diam}F_{n}=0}}$ esisterà un $F_{k}$$F_k$ che contiene $x$$x$ ma non $y$$y$. $2\longrightarrow 3$$2\longrightarrow 3$: Considero una famiglia di chiusi con la proprietà dell'intersezione finita e con inf dei diametri 0. Per la FIP, ogni $F_{s}$$F_{s}$ è non vuoto (altrimenti la famiglia finita $\{F_{s}\}$$\{F_{s}\}$ non soddisfa la proprietà). Siccome l'inf dei diametri è 0, per ogni $j\in \mathbb {N}$$j\in \mathbb {N}$ esiste $s_{j}$$s_{j}$ tale che ${\rm {{diam}F_{s_{j}}<{\frac {1}{j}}}}$${\rm {{diam}F_{s_{j}}<{\frac {1}{j}}}}$ (formula 1).

Per ogni $n\in \mathbb {N}$$n\in \mathbb {N}$ pongo $G_{n}=\bigcap _{j\leq n}F_{s_{j}}$$G_{n}=\bigcap _{j\leq n}F_{s_{j}}$. Questa è un'intersezione finita di chiusi, quindi per la FIP è non vuota, e ovviamente è decrescente perché in $G_{n+1}$$G_{n+1}$ interseco un numero maggiore di insiemi. Inoltre essendo $F_{n}\subset F_{j}$$F_{n}\subset F_{j}$, per la formula 1 ${\rm {{diam}F_{j}<{\frac {1}{j}}}}$${\rm {{diam}F_{j}<{\frac {1}{j}}}}$ per ogni $j\leq n$$j\leq n$, quindi all'aumentare di $n$$n$ il diametro di $G_{n}$$G_{n}$ tende a 0, e alla famiglia $G_{n}$$G_{n}$ si può applicare 2, quindi esiste un unico $x_{0}\in X$$x_0\in X$ tale che $\bigcap _{n}G_{n}=\{x_{0}\}$$\bigcap _{n}G_{n}=\{x_{0}\}$.

Mostro che $x_{0}$$x_0$ appartiene a tutti gli $F_{s}$$F_{s}$. Fisso $s_{0}$$s_{0}$, e chiamo $(F')_{s}=F_{s_{0}}\cap F_{s}$$(F')_{s}=F_{s_{0}}\cap F_{s}$ con $(F')_{s}\neq \emptyset$$(F')_{s}\neq \emptyset$ per la FIP. Inoltre la famiglia $(F')_{s})_{s\in S}$$(F')_{s})_{s\in S}$ soddisfa le ipotesi della condizione 3 infatti:

1. è una famiglia di chiusi,
2. ha la fip perché:
   $$F'_{s_{1}}\cap \dots \cap F'_{s_{k}}=F_{s_{0}}\cap F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{0}}\cap (F_{s_{k}}$$

   $$F'_{s_{1}}\cap \dots \cap F'_{s_{k}}=F_{s_{0}}\cap F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{0}}\cap (F_{s_{k}}$$
   $$=F_{s_{0}}\cap F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{k}}),$$

   $$=F_{s_{0}}\cap F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{k}}),$$
   quindi globalmente è un'intersezione finita di $F_{s}$$F_{s}$;
3. l'inf dei diametri è 0 [perché gli $(F')_{s}$$(F')_{s}$ sono tutti insiemi contenuti nei $F_{s}$$F_{s}$ e per ipotesi $\inf {\rm {{diam}F_{s}=0}}$$\inf {\rm {{diam}F_{s}=0}}$.

Ripetendo il procedimento precedente applicato agli $(F')_{s}$$(F')_{s}$ ottengo che esiste un punto $x_{0}$$x_0$ che appartiene a $\bigcap _{n}(G')_{n}$$\bigcap _{n}(G')_{n}$ dove i $(G')_{n}$$(G')_{n}$ sono stati costruiti come prima.

$$\bigcap (F')_{n}=F_{s_{0}}\cap F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{0}}\cap F_{s_{n}}$$

$$\bigcap (F')_{n}=F_{s_{0}}\cap F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{0}}\cap F_{s_{n}}$$

$$=F_{s_{0}}\cap F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{n}},$$

$$=F_{s_{0}}\cap F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{n}},$$

ma nell'intersezione senza $F_{s_{0}}$$F_{s_{0}}$ c'è un punto solo, $x_{0}$$x_0$, quindi $x_{0}$$x_0$ deve stare anche in $F_{s_{0}}$$F_{s_{0}}$, ma questo è vero per ogni $s_{0}$$s_{0}$ quindi vale 3.
$3\longrightarrow 4$$3\longrightarrow 4$: Sia $(x_{s})_{s\in S}$$(x_{s})_{s\in S}$ un net di Cauchy. Fisso $s$$s$ e considero $F_{s}={\overline {\{x_{t}:t\geq s\}}}$$F_{s}={\overline {\{x_{t}:t\geq s\}}}$. Affermo che

1. $F_{s}$$F_{s}$ è un chiuso non vuoto.
2. $F_{s}$$F_{s}$ verifica la FIP. Prendo $F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{k}}$$F_{s_{1}}\cap \dots \cap F_{s_{k}}$. L'insieme degli indici deve essere filtrante, quindi per ogni coppia di indici deve esisterne uno maggiore di entrambi, e applicando il procedimento più volte, esiste ${\bar {s}}\geq s_{1},s_{2},\dots ,s_{k}$${\bar {s}}\geq s_{1},s_{2},\dots ,s_{k}$. Quindi ho un chiuso $F_{\bar {s}}$$F_{\bar {s}}$ contenuto in tutti gli altri.
3. l'inf dei diametri è 0, perché il net è di Cauchy.Infatti, per ogni $\varepsilon >0$$\varepsilon>0$ esiste $s_{0}$$s_{0}$ tale che
   $$\forall s_{1},s_{2}\geq s_{0},\,\,d(x_{s_{1}},x_{s_{2}})<\varepsilon ,$$

   $$\forall s_{1},s_{2}\geq s_{0},\,\,d(x_{s_{1}},x_{s_{2}})<\varepsilon ,$$
   quindi ${\rm {{diam}F_{s_{0}}\leq \varepsilon }}$${\rm {{diam}F_{s_{0}}\leq \varepsilon }}$, perché $F_{s_{0}}$$F_{s_{0}}$ è l'insieme degli $x_{s}$$x_{s}$ con $s\geq s_{0}$$s\geq s_{0}$ e quindi contiene tutti i punti $x_{s_{1}},x_{s_{2}}$$x_{s_{1}},x_{s_{2}}$ per cui $d(x_{s_{1}},x_{s_{2}})<\varepsilon$$d(x_{s_{1}},x_{s_{2}})<\varepsilon$.

Quindi per la 3 esiste $x_{0}\in \bigcap F_{s}$$x_{0}\in \bigcap F_{s}$ e mostro che $x_{0}$$x_0$ è il limite del net, cioè considero $r>0$$r>0$ e la bolla $B(x_{0},r)$$B(x_0,r)$, e cerco un indice $s_{0}$$s_{0}$ per cui, per $s>s_{0}$$s>s_{0}$ gli elementi del net stanno nella bolla.

Per la proprietà sui diametri degli $F_{s}$$F_{s}$ esiste $s_{0}$$s_{0}$ tale che ${\rm {{diam}F_{s_{0}}<r/2}}$${\rm {{diam}F_{s_{0}}<r/2}}$. $F_{s_{0}}$$F_{s_{0}}$ deve stare tutto nella bolla, perché $x_{0}$$x_0$ sta in $F_{s_{0}}$$F_{s_{0}}$, e il diametro questo insieme è minore di $r/2$$r/2$. Quindi tutti gli elementi del net a partire da $s_{0}$$s_{0}$ sono nella bolla.

$4\longrightarrow 1$$4\longrightarrow 1$: ogni successione è un net e quindi in particolare ogni successione di Cauchy converge.

 

Il seguente è un esempio di spazio topologico che non ha un insieme di intorni fondamentali come le bolle.

Esempio 4.5

Sia $X=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} \}$$X=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} \}$: con la topologia della metrica uniforme, graficamente gli intorni di una funzione sono fatti nel seguente modo: considero una funzione e la traslo in alto e in basso di $\varepsilon$$\varepsilon$, l'intorno contiene tutte le funzioni il cui grafico è compreso nella "striscia" individuata dalle due traslate.

Invece, considero ora la topologia della convergenza puntuale, in cui $f_{n}\to [p]f$$f_{n}\to [p]f$ se per ogni $x\in [0,1]$$x\in [0,1]$$f_{n}(x)\to f(x)$$f_{n}(x)\to f(x)$. In questa topologia per determinare l'intorno generico di una funzione fisso un punto $x$$x$ e considero le funzioni che differiscono da $f$$f$ per meno di $\varepsilon$$\varepsilon$ in quel punto, ottengo così l'intorno $U_{x}$$U_{x}$.

Siccome l'intersezione di intorni è ancora un intorno, l'insieme delle funzioni che si discostano da $f$$f$ per meno di $\varepsilon$$\varepsilon$ in un numero finito di punti, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ è ancora un intorno, perché intersezione di $U_{x_{1}}\cap U_{x_{2}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}$$U_{x_{1}}\cap U_{x_{2}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}$.

Mostro che la funzione nulla non ha un sistema fondamentale di intorni numerabile.

Per assurdo supponiamo che esista $(U_{n})$$(U_{n})$ famiglia di intorni tale che per ogni $U$$U$ intorno esiste $n$$n$ tale che $U_{n}\subset U$$U_{n}\subset U$. Ogni $U_{n}$$U_{n}$ è caratterizzato da un $r>0$$r>0$ e da un numero finito di punti $P_{n}=\{x_{1}^{n},\dots ,x_{n}^{n}\}$$P_{n}=\{x_{1}^{n},\dots ,x_{n}^{n}\}$ su cui le funzioni differiscono dalla funzione nulla per meno di $r$$r$, e quindi sono minori in modulo di $r$$r$. L'insieme $P_{n}$$P_{n}$ non può esaurire $[0,1]$$[0,1]$, allora considero un ${\bar {x}}\notin P_{n}$${\bar {x}}\notin P_{n}$.

Considero quindi $U=\{f:f({\bar {x}})<2\}$$U=\{f:f({\bar {x}})<2\}$. Non può esserci nessun intorno $U_{n}$$U_{n}$ contenuto in $U$$U$, perché i valori delle funzioni di $U_{n}$$U_{n}$ sono specificati su $\{x_{1}^{n}\dots ,x_{n}^{n}\}$$\{x_{1}^{n}\dots ,x_{n}^{n}\}$, ma non su ${\bar {x}}$$\bar x$.

In questo spazio topologico la chiusura non si può descrivere con le successioni, anche se si ha la nozione di convergenza di successioni.