Disuguaglianza di Bessel

Spazio completo[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.1

Supponiamo di avere uno spazio di Hilbert e un sottospazio ortonormale . Il sottospazio si dice completo se l'inviluppo lineare è denso in .

 


Proposizione 4.1 (Criterio di densità)

Sia . Se per ogni e per ogni positivo si ha che , allora è denso in .

 
Dimostrazione

Se per ogni , significa che ogni appartiene ad oppure è di accomulazione per . Quindi ogni sta in , cioè e quindi è denso in .

 


Esempio 4.1 (spazio completo)

Considero

La successione degli (vettori con tutte le componenti nulle tranne la n-esima) è ortonormale. Mostro che è completo, cioè che l'inviluppo lineare è denso.

Mostro che vale il criterio di densità enunciato prima, cioè mostro che dato un qualunque e positivo, allora in ogni bolla esiste un elemento che è combinazione lineare finita di . Prendo tale che . Allora esiste tale che . Se chiamo la successione che ha coordinate questo è un vettore di , è combinazione lineare finita degli e

quindi .

 

Dimostrazione della disuguaglianza di Bessel[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.1

Sia un sottoinsieme ortonormale numerabile. Allora per ogni , vale la disuguaglianza di Bessel

 
Dimostrazione

Sia il sottoinsieme lineare generato dai primi vettori, , fisso e chiamo la proiezione . Allora, siccome , per definizione di proiezione perché è perpendicolare a ogni vettore di . Per Pitagora

e sfruttando la formula per la proiezione, , si ha
e siccome , eguagliando al primo membro si ha:
ma questo vale per ogni . Allora passando al sup

 

Condizioni equivalenti all'identità di Parseval[modifica | modifica wikitesto]

Per dimostrare il prossimo teorema serve il criterio seguente: Criterio sull'unione: Se con , allora .

Dimostrazione

allora . Viceversa, esiste una successione di elementi di che realizza l'inf, con , allora . Allora , cioè valgono le due disuguaglianze.

 


Teorema 4.2

Sia di Hilbert, e un sottoinsieme ortonormale. Sono equivalenti:

  1. se è ortogonale ad , allora
  2. è completo
  3. per ogni , (identità di Parseval)
 
Dimostrazione

: implica . Stiamo supponendo che , e questo implica che è denso in , cioè è completo.

: supponiamo che valga l'identità di Parseval, e considero un vettore ortogonale ad , allora dev'essere perché la serie a secondo membro dell'identità di Parseval è nulla.

: supponendo che sia completo dimostro l'identità di Parseval. Fisso , e pongo , in modo che . Quindi applicando il criterio sull'unione

Ma siccome è completo, il primo membro è nullo (infatti e la distanza di un punto da un insieme è nulla se il punto si trova nella chiusura di questo insieme).

Il secondo si riscrive come

Per Pitagora
e per la formula 1, il primo membro è nullo, quindi rimane
e ottengo l'uguaglianza.
Commento: La completezza è stata usata per dire che .

 

Spazio topologico separabile[modifica | modifica wikitesto]

Definizione 4.2

Se è uno spazio topologico, si dice separabile se ha un sottoinsieme denso numerabile.

 


Esempio 4.2

Ad esempio è separabile e prendo come sottoinsieme numerabile . non numerabile con la metrica discreta non è separabile, perché ogni insieme è chiuso con la topologia discreta, quindi preso numerabile, si ha sempre .

 


Esercizio 4.1

è separabile. (tutte le combinazioni lineari finite di elementi razionali è un sottoinsieme numerabile denso)

 


Teorema 4.3

ammette un sottoinsieme ortonormale completo e numerabile se e solo se è separabile come spazio topologico.

 
Dimostrazione

: se esiste sottoinsieme ortonormale completo e numerabile, allora è separabile per definizione.

: suppongo che sia separabile, allora esiste un sottoinsieme numerabile denso , devo trovare però un sottoinsieme denso numerabile e ortonormale. Considero un sistema ortonormale completo (esistenza da dimostrare), e mostro che è numerabile. A priori se ,

quindi dati due vettori di un insieme ortonormale, la loro distanza è sempre .

Considero la famiglia delle bolle centrate negli e di raggio . Le bolle sono disgiunte. Per ogni , esiste tale che per il criterio sulla densità. Abbiamo costruito una funzione iniettiva, infatti se , (questa funzione associa una bolla centrata in un punto con indice nell'insieme a un punto dell'insieme numerabile ). Allora per l'iniettività della funzione .

 


Teorema 4.4 (teorema di Cantor-Bernstein)

Dati due insiemi , se esiste iniettiva e iniettiva, allora esiste biettiva.

 

se e solo se esiste iniettiva.

Quarta condizione equivalente all'identità di Parseval[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 4.5

Sia uno spazio di Hilbert e . numerabile è completo e ortonormale se e solo se per ogni si ha che

(ogni vettore è somma della sua serie di Fourier).

 
Dimostrazione

: Supponiamo che sia completo e ortonormale. Mostro prima che la serie di Fourier converge. Considero la successione delle somme parziali

Mostro che la successione è di Cauchy: per la completezza di , vale l'identità di Parseval, quindi esiste tale che
(la coda della serie è trascurabile perché la serie converge)
Siano , suppongo senza perdita di generalità, allora
e siccome i vettori sono a due a due ortogonali, il quadrato della norma è:
per l'identità di Parseval, quindi la successione è di Cauchy. Siccome lo spazio è completo la successione converge ad un certo , cioè posso scrivere con successione delle somme parziali.
Fisso un vettore nell'insieme ortonormale e calcolo
per continuità del prodotto scalare
e siccome rimane solo il termine con si ha:
quindi . Ma perché è completo, quindi , cioè , e è proprio il limite della successione delle somme parziali, e quindi la somma della serie.

: supponiamo che ogni sia somma della sua serie di Fourier, cioè che con somme parziali della serie. Per mostrare che il sistema è completo mostro che vale Parseval, che è una condizione equivalente alla completezza.

ma
e per ,

 

Questa condizione è equivalente alla completezza di e vale se il sistema è numerabile (quindi in spazi separabili). Infatti in spazi non numerabili la convergenza della serie è legata all'ordine in cui vengono presentati i termini,

mentre nel caso numerabile ciò non avviene.
Osservazione 4.1

Sia un sottoinsieme ortonormale (non ci sono ipotesi sulla completezza e sulla cardinalità di ). Fisso un vettore , allora se considero i prodotti scalari , essi sono quasi tutti nulli (tranne al più una famiglia numerabile).

 
Dimostrazione

Questo è vero perché vale la disuguaglianza di Bessel, chiamo . Allora deve essere finito. Supponiamo per assurdo che non sia finito, allora esistono , e su questo sottoinsieme ortonormale numerabile vale Bessel, allora

e quindi la serie converge. D'altra parte i moduli devono essere maggiori di per l'ipotesi assurda, e quindi si ha una contraddizione perché la serie al membro di sinistra non converge. Quindi ogni è finito. Inoltre
e siccome ogni insieme del membro di destra è finito, l'insieme di sinistra è al più numerabile.

 


Esercizio 4.2 (spazio di Hilbert non separabile)

Sia non numerabile, e chiamo

Se , ho il solito sottoinsieme delle successioni convergenti a valori in ).

 
Dimostrazione

Il prodotto scalare definito su questo spazio è

che induce la norma
Per mostrare che l'insieme non è separabile, considero le funzioni della forma per ogni . Osservo che se ,
infatti ci sono solo due coordinate non nulle e uguali a 1.
allora prendendo le bolle di centro e raggio , queste sono disgiunte. Sappiamo che uno spazio separabile ammette un sottoinsieme completo, ortonormale e numerabile. Per la densità di , ogni bolla disgiunta ne contiene almeno un elemento: gli elementi di sono al più numerabili se lo spazio è separabile. Quindi se è non numerabile le bolle sono più che numerabili e di conseguenza lo stesso vale per gli elementi di , quindi non è separabile.

 
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